Cosenos directores

DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS
COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO

Considere una fuerza F actuando en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z.
Para definir la dirección de F, se dibuja el plano vertical OBAC que contiene a F (véase la figura de abajo). Este plano pasa a través del eje vertical y su orientación está definida por el ángulo Ø que este formo conel plano XY. La dirección de F dentro del plano está definido por el ángulo Øy que F forma con el eje Y. la fuerza F se puede descomponer en una componente vertical Fy y una componente horizontal Fh; las componentes escolares correspondiente son:

[pic]

[pic]

sen Ø = [pic]
[pic] Ø
[pic] Ø y sen Ø
Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares Fx y Fz a lo largo de los ejesX, Y, Z, respectivamente. Esta operación se lleva acabo en el plano X, Z. Se obtiene las siguientes expresiones para los componentes escolares correspondientes a Fx y Fz Fx.

[pic]

Por lo tanto, la fuerza dada F se ha descompuesto en 3 componentes vectoriales rectangulares Fx y Fy Fz, que están dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados.
Aplicando el teorema de Pitágoras a lostriángulos OAB y OCD se escribe:
F2 = (OA) 2 = (OB)2 + (BA)2 = F2y+ F2h
F2 = (OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = F2x+ F2z
Eliminando F2h de estas dos ecuaciones y resolviendo F, se obtiene la siguiente relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares rectangulares.

[pic]


cos Ø=[pic]
Fx = Fh cos Ø
Fx Fsen Øy cos Ø
La relación existente entre la fuerza F y sus tres componentes Fx y Fy Fzse visualiza más fácilmente si, como se muestra en la figura se dibujo una caja que tenga Fx y Fy Fz como aristas. Entonces, la fuerza F se representa por la diagonal OA de dicha caja. La figura b muestra el triángulo rectángulo OAB empleado para derivar primera de las fórmulas Fy = F cos Øy. En las figuras 2,31a y c, también se han dibujado otros dos triángulos rectángulos. OAD y OAE. Seobserva que estos triángulos ocupan en la caja posiciones comparables con la del los triángulos OAB. Al enunciar Øx y Øz, como los ángulos que F forman con los ejes x y z, respectivamente, se pueden derivar dos fórmulas similares a Fy = F cos Øy entonces se escribe.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Los tres ángulos [pic]definen la dirección de fuerza F; éstos son los que se utilizan con mayorfrecuencia para dicho propósito, más comúnmente que los ángulos [pic]Ø introducidos al principio de esta sección. Los cosenos de [pic] se conocen como los cosenos directores de la fuerza F.
Introduciendo los vectores unitarios i, j y k, dirigidos, respectivamente, a lo largo de los x, y y = figura 2.32 F puede expresarse de la siguiente forma.

[pic]
[pic]



Donde los componentes escalares Fx yFy Fz están definidas por las relaciones (2.19).
Ejemplo 1. Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60º, 45º y 120º con los ejes x y y z, respectivamente. Encuentre los componentes Fx y Fy Fz de la fuerza.
Sustituyendo F = 500 N, [pic]en las formulas se escribe.

[pic]

[pic]
Llevando los valores obtenidos para las componentes escalares de F a la ecuación (2.20) se tiene.

F = Fxi + Fyj+ Fzk

[pic]

Como en el caso de los problemas bidimensionales, un signo positivo indica que la componente tiene el mismo sentido que el eje que le corresponde y un signo negativo indica que esta tiene un sentido opuesto al del eje.
El ángulo que forma una fuerza F con un eje siempre debe ser medido a parir del lado positivo del eje y siempre debe estar entre 0 y 180º. Un ángulo [pic]menosque 90º (agudo) indica que F (la cual se supone que está fija a 0x está en el mismo lado del plano yz que el eje x positivo; entonces cos [pic]y Fx serán positivos. Un ángulo [pic] mayor que 90º (obtuso) indica que F está en el otro lado del plano yz; entonces cos [pic]y Fx serán negativos. En el ejemplo 1. Los ángulos [pic] son agudos, mientras que [pic] es obtuso; consecuentemente Fx y Fy son...