Cp400 Integrales Etc

LA COMPETENCIA MATEMÁTICA CON LA
CALCULADORA GRÁFICA

3. CÁLCULO
Sucesiones, Límites, Derivadas e Integrales

MAURICIO CONTRERAS
ONOFRE MONZÓ

La competencia matemática con la calculadora gráfica

Febrero 2014

1. COMPLEMENTOS DE FUNCIONES
Introducción
Con la CP – 400 podemos obtener fácilmente gráficas de funciones definidas a intervalos. La CP – 400
dispone también de la posibilidad derealizar gráficos dinámicos, así como una aplicación específica para
estudiar las sucesiones.
En esta sesión estudiaremos, en particular, las funciones definidas a trozos, las sucesiones y el cálculo de
límites de funciones, la optimización mediante el cálculo de derivadas y el cálculo de integrales y sus
aplicaciones.

1. Representación gráfica de funciones
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Existensituaciones reales en las que no hay una única expresión para todo el problema y la función que las
modeliza hay que definirla por intervalos. Veamos algún ejemplo:
Cambio de estado
La gráfica muestra la cantidad de calor (en calorías), capaz de transmitir un gramo de hielo o agua a
diferentes temperaturas (en ºC).

Calorías



10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-15

-10

-5

0

5

10

15

20

ºC

a) ¿Cuántascalorías puede transmitir 1 g. de hielo a -10ºC? ¿Y a -5ºC?
b) ¿Y 1g. de agua a 20ºC? ¿Y a 10ºC? ¿y a 7ºC?
c) Expresa mediante una fórmula la función anterior.
Las preguntas a) y b) llevan a la conclusión de que la función que modeliza el problema está compuesta por
dos rectas, una hasta el 0 y otra a partir de él.
La primera recta pasa por los puntos (10, 1) y (0, 2) con lo que, utilizando la ecuaciónde la recta en forma
punto-pendiente (y = y0 +m(xx0)), tendremos que: y  2 

Y

x
(2  1)
( x  0) , es decir, y  2 
10
(0  (10))

la segunda recta, que pasa por los puntos (0, 8) y (20, 9) será: y  8 

y 8

(9  8)
( x  0) , es decir,
(20  0)

2  X / 10, ______si _ x  0
x
. Con lo que la función buscada es: Y  
20
8  ( x  8) / 10, __ si _ x  0

SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIOPág. 1

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Febrero 2014

Para dibujarla en la CP – 400 tenemos que definirla como dos funciones, una por cada trozo, y, además,
hemos de hacer uso del comando  que está situado en el teclado virtual math3. Este comando permite
restringir el rango de valores de la variable que aparece en la fórmula de la función. La sintaxis es sencilla:
se escribela fórmula de la función a la izquierda de la barra  y la condición de restricción a la derecha.
Ajustamos la ventana en

a los datos del problema y visualizamos la gráfica pulsando

Si quisiéramos representar una función en la que una de sus partes estuviera definida como:
f(x)=x+1

5 ≤ x ≤ 5

debemos definir la función como antes se ha señalado, pero esta vez, utilizaremos dos veces el comando,
una para cada extremo del intervalo, ya que dicho comando solamente admite una condición de restricción:

1,
si 0  x  1
2x,

En las siguientes figuras se muestran las gráficas de y  
e y  x,
2

x,
si
1

x

2

1,


SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO

si x  1
si  1  x  1
si x  1

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2. Actividades
1) Dibuja enlos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones y=x1, y= x 2  1 , y= x 3  1 ,
y= x 4  1. Dibuja también las gráficas de las funciones recíprocas: y 

1
1
, y
, ... Comenta
2
x 1
x 1

los resultados obtenidos.

2) Comprueba con la CP – 400 que las funciones y  e x , y  ln(x) son funciones inversas.

SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO

Pág. 3

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3) La cantidad de carbono decrece exponencialmente. Empezando con una cierta cantidad q de carbono
C14, la vida media es de 5730 años. Después de un número x de años, la cantidad de carbono que

 1
queda es: y  q   
2

x 5730

. Si se sabe la cantidad de carbono actual y, para saber la edad de ese

carbono, hay que calcular x, es decir, hay que resolver una...