Criterio cociente
-Criterio agrupación
-Criterio convergencia
-Criterio de la integración
-Criterio de la suma
-Criterio de comparación
Primer criterio de comparación.
(Una serie detérminos no negativos dominada por una serie convergente, es convergente).
Sean unas sucesiones de números reales no negativos. Entonces
Si converge, entonces converge
Demostración. Pongamos
Puesto que , se tiene
O sea
Pero como sabemos, la convergencia de la serie significa que sus sumas parciales están acotadas superiormente: existe un tal que .
De , setiene , lo que nos dice también que las sumas parciales están acotadas superiormente. Como la sucesión es creciente, su acotación superior nos permite concluir que tiene un límite finito. Pero esto eslo mismo que afirmar que la serie converge.
Observación. el criterio sigue valiendo si la desigualdad es válida desde un natural en adelante. La justificación queda a cargo del lector, y nodebiera ser soslayada.
Es recomendable que el lector intente hacer un esbozo de la estrategia empleada en esta prueba, algo así como un croquis, en el que solamente escribirá los trazos más gruesos dela demostración. Luego intentará llenar mentalmente los claros dejados. Por fin intentará escribir toda una prueba completa y, si ya no le encuentra errores para remediar, se la dará a la crítica deuno o dos compañeros.
Ejemplos.
a) La serie es convergente:
Dado que , se tiene , pero como hemos aprendido anteriormente, la serie es convergente. Por el criterio de comparación esconvergente la serie . Los detalles referidos a que y no son una misma cosa deberán ser atendidos por el lector.
b) Prueba de la convergencia de
Tomemos , y estudiemos
Siendo ,todos los factores salvo el último son mayores que , de donde se obtiene
Como es fácil comprobar a partir de esto, vale para todo natural , quedándonos las desigualdades
tomando recíprocos:...
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