Criterio cociente

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-Criterio cociente
-Criterio agrupación
-Criterio convergencia
-Criterio de la integración
-Criterio de la suma
-Criterio de comparación 

Primer criterio de comparación.
 
(Una serie detérminos no negativos dominada por una serie convergente, es convergente).
Sean   unas sucesiones de números reales no negativos. Entonces 
Si  converge,  entonces   converge
 
Demostración.  Pongamos   
 

 
Puesto que , se tiene
 

O sea

Pero como sabemos, la convergencia de la serie   significa que sus sumas parciales  están acotadas superiormente: existe un  tal que .
De , setiene , lo que nos dice también que las sumas parciales  están acotadas superiormente. Como la sucesión  es creciente, su  acotación superior nos permite concluir que  tiene un límite finito.  Pero esto eslo mismo que afirmar que la serie  converge.
Observación.  el criterio sigue valiendo si la desigualdad  es válida desde un natural en adelante. La justificación queda a cargo del lector, y nodebiera ser soslayada.
 
Es recomendable que el lector intente hacer un esbozo de la estrategia empleada en esta prueba, algo así como un croquis, en el que solamente escribirá  los trazos más gruesos dela demostración. Luego intentará llenar mentalmente los claros dejados. Por fin intentará escribir toda una prueba completa y, si ya no le encuentra errores para remediar, se la dará a la crítica deuno o dos compañeros.
 

Ejemplos.
a)      La serie  es convergente:  
Dado que , se tiene  , pero como hemos aprendido anteriormente, la serie   es convergente. Por el criterio de comparación esconvergente la serie .  Los detalles referidos a que  y  no son una misma cosa deberán ser atendidos por el lector.
 
b)      Prueba de la convergencia de

Tomemos , y estudiemos   
Siendo ,todos los factores salvo el último son mayores que , de donde se obtiene

Como es fácil comprobar a partir de esto, vale  para todo natural , quedándonos las desigualdades

tomando recíprocos:...
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