Criterios de convergencia de series

Calculo Diferencial e Integral
´
Criterios de Convergencia
Alberto Vera Az´car, albvera@ing.uchile.cl
o
De aqu´ en m´s se supondr´ que las series est´n bien definidas desde alg´n k0 ∈ N, en otrası
a
a
a
u
palabras, ∀k ≥ k0 se evita dividir por cero, tomar logaritmos negativos, etc.

Condici´n Necesaria:
o
ak converge ⇒ (ak ) → 0 cuando k → ∞
k≥k0

El criterio anterior debe serlo primero en verificar cuando se estudia una serie y es v´lido
a
independiente del signo de los t´rminos de la serie (ver Ejemplo 3).
e
a
Notaci´n: Se dir´ que una serie de sumandos positivos (an≥ 0) converge ssi
o
y se dir´ que diverge ssi k≥k0 ak = ∞.
a

k≥k0

ak < ∞

Los criterios siguientes son para series con termino central (an ) no negativo, si se tiene una
suceci´n negativa(bn ), se puede estudiar sin dificultad su comportamiento aplic´ndole criterios
o
a
a (−bn ).
Si por otro lado lo que se desea estudiar es una suceci´n que intercambia de signo (complio
cado) sepuede descomponer en dos que conserven el signo (an = bn + cn ) como se muestra en
el Ejemplo 2 o bien estudiar su convergencia absoluta (|an |).
¯
Criterio de Comparaci´n: Sean (an ), (bn ) ≥ 0sucesiones tales que ∀k ≥ k bk ≥ ak ,
o
entonces :
bk < ∞ ⇒
k≥k1

ak < ∞
k≥k0

Observaciones: Es importante que ambas sucesiones sean positivas (ver Ejemplo 1). Las
sumas pueden estar definidasdesde puntos distintos (k0 y k1 ) y no comportarse como bk ≥ ak
¯
hasta antes de k . Adem´s la rec´
a
ıproca de este resultado tambi´n es muy util.
e
´
−1
Ejemplo 1) Estudiar el comportamientode √n
1
Sea bn := − √n , se tiene que la sucesi´n es siempre negativa y si no se tiene cuidado se llegan
o
1
a resultados erroneos. Se escoge como serie para comparar an := n2 , se tiene que ∀n ≥1, an ≥ bn
y la serie de an se conoce convergente. Esto no implica que la serie estudiada converja (y no lo
hace) puesto que no se comprob´ la hip´tesis de ser positiva.
o
o

Ahora se...