criterios de divisivilidad y desigualdades




Criterios de divisibilidad por 7
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.
Ejemplo: 
343  34 − 2 · 3 = 28 28 es múltiplo de 7
105  10 − 5 · 2 = 0
2 261  226 − 1 · 2 = 224 
Se repite el proceso con 224 22 − 4 · 2 = 14 14 es múltiplo de 7
Criterio de divisibilidadpor 11
Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11.
Ejemplo:
121 (1 + 1) − 2 = 0
4224 (4 + 2) − (2 + 4) = 0
Otros criterios de divisibilidad
Criterio de divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
Ejemplo: 
36, 400, 1 028, ...Desigualdades
Los sistemas de ecuaciones contienen ecuaciones correlacionadas que pueden resolverse juntas. Un sistema consistente tiene una solución que resuelve ambas ecuaciones dentro de un sistema. Un sistema inconsistente no tiene una solución. Los sistemas de ecuaciones independientes comparten una sola respuesta, mientras que los sistemas dependientes comparten todas las respuestas, loque significa que hay respuestas infinitas. Para resolver un sistema consistente e independiente de ecuaciones, reformula las ecuaciones para que se puedan sumar para eliminar una de las variables. Resuelve para esa variable, sustituye la respuesta de nuevo en la ecuación original y resuelve la otra variable. Representa la respuesta como el punto (x,y).
Sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

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Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones an y bn:
an= a1, a2, a3, ..., an
bn= b1, b2, b3, ..., bn
Suma de sucesiones
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)Propiedades
1. Asociativa:
(an + bn) + cn = an + (bn + c n)
2. Conmutativa:
an + bn = bn + a n
3. Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ...)
an + 0 = an
4. Sucesión opuesta
(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)
an + (-an) = 0
Diferencia de sucesiones
(an) - (bn) = (an - bn)
(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)
Producto de sucesiones
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn) =(a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)
Propiedades
1. Asociativa:
(an · bn) · c n = an · (bn · c n)
2. Conmutativa:
an · bn = bn · a n
3. Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
an · 1 = an
4. Distributiva respecto a la suma
an · (bn + c n) = an · bn + an · c n
Sucesión inversible
Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn esinversible, su inversa es:

Cociente de sucesiones
Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Tipos de sucesiones
Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.
an+1 > an
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
Sucesiones crecientesSe dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
an+1 < an
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...
Sucesionesdecrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.
an = an+1
5, 5, 5, 5, ...
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que...