Cuadrados mágicos

´ ´ CONSTRUCCION DE CUADRADOS MAGICOS A PARTIR DE GEOMETR´ IAS FINITAS1
Milton Rodr´ ıguez Santos
Profesor Universidad del Tolima Ibagu´, Colombia e

milrod33@mixmail.com
Resumen El objetivo fundamental de este Trabajo es elaborar un algoritmo generador de cuadrados m´gicos de orden cinco, mediante aplicaci´n de resultados obtenidos en a o geometr´ finita. ıa

1.

Metodolog´ ıa

2 Elpunto de partida ser´ el espacio af´n A(Z5 ). Construiremos una geometr´a sobre el cona ı ı 2 ı a junto Z5 , a partir de la estructura de espacio af´n; introduciremos nociones b´sicas tales como punto, recta, plano y paralela. Adem´s, proporcionaremos un modelo gr´fico para a a ilustrar esta “nueva geometr´a”. Posteriormente definimos cuadrado m´gico como una ı a funci´n, con el fin de investigar —enel lenguaje matem´tico de las funciones— las causas o a 2 de aquella ((magia)). Estas funciones m´gicas tendr´n dominio Z5 y, por algunas caraca a ter´ ısticas encontradas, en su estudio se infiltrar´n resultados obtenidos en la geometr´a a ı finita construida. As´ se logra, finalmente, demostrar unos teoremas que fundamentan un ı algoritmo que permite construir m´s de 10.000 cuadrados m´gicos deorden cinco. a a

2.

Introducci´n o

Los cuadrados m´gicos son ordenaciones de los n´meros enteros 1, 2, . . . n2 en un cuadrado a u de n casillas de lado, de tal forma que la suma de los elementos de cada una de sus filas, columnas y diagonales d´ el mismo resultado. La siguiente figura muestra un cuadrado e m´gico de orden tres. a 8 3 4 1 5 9 6 7 2

Figura 1. Cuadrado m´gico de orden tres. aConstruir este cuadrado s´lo requiere un poco de habilidad calculista y algo de desocuo paci´n. Pero tratar de elaborar, por ensayo y error, un cuadro de orden cinco es una labor o
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Ponencia presentada en el XV encuentro de geometr´ y III de aritm´tica. ıa e

Memorias XVI encuentro de geometr´ y IV de aritm´tica ıa e

m´s complicada. Como dato de inter´s sabemos que existen 880 cuadradosm´gicos de a e a orden cuatro. Por otro lado, la geometr´ finita es, a grandes rasgos, la disciplina que estudia nociones ıa geom´tricas sobre un conjunto finito de puntos. e Este Trabajo mostrar´ c´mo aplicar elementos de una geometr´a construida sobre un a o ı espacio af´ finito para elaborar un algoritmo que permita construir cuadrados m´gicos ın a de orden cinco. Contendr´ los siguientescap´tulos: Una Geometr´a Plana Finita, Estudio a ı ı de los Cuadrados M´gicos y Algoritmo Generador de Cuadrados M´gicos. a a En este estudio se introdujo, por comodidad, algunos t´rminos nuevos2 ; adicionalmente, e se demostraron varios resultados novedosos3 , los cuales soportan matem´ticamente el a algoritmo presentado en el Trabajo. En este cap´ ıtulo se proporcionan elementos algebraico-geom´tricospara abordar el estudio e de los cuadrados m´gicos. El componente fundamental es el campo Z5 . En 1.1 se estudia a 2 ı a el espacio af´ A(Z5 ). En 1.2 se construye el plano af´n sobre Z5 y adem´s se presenta un ın modelo gr´fico que ilustra la geometr´a resultante. a ı

3.

2 Espacio af´ A(Z5 ) ın

2 En este secci´n estudiamos brevemente el espacio vectorial Z5 sobre Z5 , el espacio af´n o ı 2A(Z5 ) y las transformaciones lineales y afines.

3.1.

Espacio vectorial

El conjunto de las clases residuales Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} con la suma y producto m´dulo o 2 5 tiene estructura de campo ([3], p´g. 109). Por consiguiente, el conjunto Z5 = Z5 × Z5 a dotado con las siguientes operaciones (x1, x2 ) + (y1, y2 ) = (x1 + y1, x2 + y2) α(x1, x2 ) = (αx1 , αx2 ), α ∈ Z5
2 tiene estructura deespacio vectorial ([3], p´g. 124). Evidentemente, los elementos de Z5 a se denominan vectores y los de Z5 , escalares. En lo sucesivo se omitir´ el “sobrerrayado” a para los elementos de Z5 .

3.2.

Espacio af´ ın

Esta secci´n se desarroll´ con base en [5], cap. 5. o o Definici´n 1. Sea A un subconjunto no vac´o de un espacio vectorial V. Se dice que A o ı es un espacio af´ con espacio...