Cuentas claras

1 CUENTAS CLARAS (Para ampliar el lenguaje) Desde hace cientos de miles de años la especie humana ha venido desarrollando el arte de contar. Los antropólogos siempre se han maravillado de las técnicas que los diferentes pueblos sobre la Tierra, de una manera independiente, lograron con este propósito reconocido como el génesis de la cultura matemática. Los elementos, las maneras de contar fueronincorporadas lentamente en el lenguaje. Los pueblos de habla inglesa, tenían por ejemplo, expresiones diferentes, para la pregunta que en Español es una sola : ¿Cuánto hay? En inglés es claro que How much? y How many? se refieren a medidas de diferente naturaleza. Existe un avance enorme en el lenguaje cuando tal hecho se hace explícito. En algún sentido Aristóteles se ocupó de cierto tipo deespeculaciones que aun hoy nos parecen de una curiosa ociosidad. Se preguntó cuántos granos de arena habrá entos de la población en cuenta, y contarlos una sola vez - no hay sino dos caminos: o hacerlo como lo hacían en épocas prehistóricas: a cada elemento de la población le corresponde una rayita en un papel, o utilizar la aritmética (casi siempre, sólo la suma y la multiplicación) y un argumento.El argumento es crucial en este contexto. Tanto un buen cuento como una buena cuenta están siempre respaldados por un buen argumento. En el ejemplo, Arquímedes utilizó su concepción del mundo y una serie de multiplicaciones. Resulta increíble que sea más fácil estimar el número de partículas de arena en el Universo que el número de burócratas colombianos, puesto que el problema no se resuelve nisiquiera con rayitas: hay burócratas que devengan de dos o más instituciones del Estado y los hay también que nunca van al trabajo.

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Carl Boyer ; A History of Mathematics ; John Wiley ; 1968

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Los mismos argumentos utilizados por Arquímedes los podemos colocar en una notación más moderna y más fácil, utilizando la notación de conjuntos. Son dos principios: el de la suma y el de lamultiplicación. En realidad son muy sencillos y hoy nos parecen casi intuitivos:

PRINCIPIO DE LA SUMA : Si número de elementos de un conjunto A es n y el número de elementos de un conjunto B es m, entonces el número de elementos de la unión de A y B es n+m, si A y B son disyuntos (no tienen elementos en común). PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION : (Pensemos en términos de un proceso). Si un proceso sepuede desarrollar en forma ordenada en m etapas. Si la etapa 1 se puede hacer de n1 maneras, la etapa 2 de n2 maneras, la etapa 3 de n3 maneras, ...., la etapa m se puede desarrollar de nm maneras, entonces, el proceso se puede llevar a cabo en : n1*n2*n3*.....*nm maneras;

Con estos dos principios básicos se puede contar en situaciones que pueden parecer complicadas. Basta traer a cuento paraello un argumento válido. Por ejemplo, podemos aplicar estos dos principios para calcular el número de resultados posibles cuando se lanzan dos dados de diferente color (¿varía el cálculo cuando son del mismo color?). Es posible también aplicar estos dos principios, con un argumento más sutil, para calcular el número de formas de cambiar un billete de 20000 pesos por las denominaciones más bajasque se usan en Colombia. Intente el lector resolver los siguientes problemas para ir entrando en el calor del cálculo combinatorio. 1) Un cuento viejo: Un observador ve pasar tres personas y sin embargo afirma que allí ve dos padres y dos hijos. ¿Qué pasa, será posible que no sepa contar? 2) Supóngase una lotería de cuatro dígitos. Encuentre el número de veces en que se obtienen los siguientesresultados i) todas las cifras iguales ii) termina en cero iv) empieza en cero v) termina en cero y comienza en cero vi) termina en cero o comienza en cero vii) sin ceros viii) al menos tiene un cero ix) sin cifras repetidas x) al menos se repite una cifra xi) la suma de los dígitos es nueve Es posible que encontremos algunos tropiezos aun para hacer estos cálculos en principio muy sencillos. Podría...