CUENTOS

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´
VI Olimp´
ıada Pacena de Matematica
Facultad de Ciencias Puras y Naturales
Universidad Mayor de San Andr´s
e
Carrera de Matem´tica
a

Secundaria
Tercera Categor´
ıa
Soluci´n de la Segunda Prueba de Clasificaci´n
o
o
2
1. La expresi´n x + 9 se escribe en la forma a(x + 1) + b(x + 1) + c. ¿Cu´l es el valor de
o
a
a − b + c?
2

(A) 9

(B) 10

(C) 12

(D) 13

(E) Ninguno

´
Solucion.- Observemos primero que a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = ax2 + (2a + b)x + (a + b + c)
e igualando esta ultima a x2 + 9, tenemos que a = 1, 2a + b = 0, a + b + c = 9, de donde
a = 1, b = −2, c = 10. Finalmente, a − b + c = 13
Respuesta: 13
2. Considera el menor entero positivo que al dividirlo entre 10 deja residuo 9, al dividirlo entre
9 deja residuo 8, al dividirlo entre 8deja residuo 7, etc., hasta que al dividirlo entre 2 deja
residuo 1. Al dividirlo entre 11 deja residuo:
(A) 0

(B) 3

(C) 5

(D) 7

(E) N inguno

´
Solucion.- Sea N el n´mero en cuesti´n, al dividirlo entre 11 el residuo debe ser 0, caso
u
o
contrario, si por ejemplo dejara residuo 1, entonces este ser´ tal que N − 1 es m´ltiplo de 2
ıa
u
y 11, luego ser´ multiplo de 22, dedonde N al ser dividido entre 2 dejar´ resto 1 pero en
ıa
ıa
este caso N dejar´ de ser el menor entero con tal propiedad.
ıa
Respuesta: 0
3. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57. Encuentra la suma a + b
´
Solucion.- Observemos que ninguno de los enteros puede ser mayor o igual a 8, pues al
ser elevado a una potencia mayor a 1, tendr´
ıamos una cantidad mayor o igual a 64, lo quees imposible. Por otro lado ambos no pueden ser pares, pues de serlo las potencias ab y
ba tambi´n lo ser´
e
ıan, y la suma ab + ba deber´ ser par, lo que es imposible. De la misma
ıa
forma ambos no pueden ser impares, en este caso las potencias ab y ba son impares, y la
suma ab + ba ser´ par nuevamente. Concluimos entonces que a y b tienen distinta paridad.
ıa
Supongamos que a es par yb es impar, luego a solo puede ser 2, 4 ´ 6 y b solo puede ser 3, 5
o
o 7. Como 74 , 76 , 54 , 56 , 34 , 36 y 27 son mayores que 57, las unicas posibilidades que quedan
´
´
son a = 2, b = 3 y a = 2, b = 5, pero ab + ba = 23 + 32 = 8 + 9 = 17 y 25 + 52 = 32 + 25 = 57.
De donde concluimos que a + b = 2 + 5 = 7
Respuesta: 7
1

2

4. ¿Cu´ntos enteros positivos de cinco cifras puedenformarse con los d´
a
ıgitos 1,3,5,6 y 9, si solo
el d´
ıgito cinco puede repetirse?
´
Solucion.- Si el d´
ıgito 5 aparece una sola vez, tenemos 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 posibilidades.
Si el d´
ıgito 5 aparece exactamente 2 veces, los n´meros tendr´ una de las siguientes formas
u
ıan
55XY Z, 5X5Y Z, 5XY 5Z, 5XY Z5, X55Y Z, X5Y 5Z, X5Y Z5, XY 55Z, XY 5Z5, XY Z55
donde en lugar de X, Y , y Zpueden sustituirse los 4 n´meros 1,3,6 y 9, hay entonces, por
u
cada una de estas configuraciones, 4 × 3 × 2 = 24 posibilidades de distribuirlos en lugar de
X, Y y Z, respectivamente. As´ tenemos 10 × (4 × 3 × 2) = 240 n´meros posibles. De la
ı
u
misma forma, si aparece exactamente 3 veces el 5, tenemos las configuraciones
555XY, 55X5Y, 55XY 5, 5X55Y, 5X5Y 5, 5XY 55, X555Y, X55Y 5, X5Y 55, XY555
, tendr´
ıamos entonces 10×(4×3) = 120 n´meros posibles. Si aparece 5 exactamente 4 veces,
u
tenemos
5555X, 555X5, 55X55, 5X555, X5555
posibilidades, y as´ 5 × (4) = 20 n´meros posibles y finalmente el n´mero 55555. As´ hay en
ı
u
u
ı
total 120 + 240 + 120 + 20 + 1 = 501
Respuesta: 501
5. La colecci´n infinita de n´meros 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, . . . se ha formado dela
o
u
siguiente manera: se coloca primero el primer impar (1), luego los siguientes dos pares (2,4),
despu´s los siguientes tres impares (5,7,9), luego los cuatro pares siguientes al ultimo impar
e
´
que se coloc´ y as´ sucesivamente. Encuentra el t´rmino de la secuencia m´s cercano a 2010.
o
ı
e
a
´
Solucion.- Observa que el ultimo n´mero de cada serie de pares e impares en la...