Cuerpo rígido

Cuerpo Rígido
De Verónica Molinari

Objetivo:
El objetivo de esta experiencia es observar y analizar el comportamiento de diferentes cuerpos rígidos al rodar, sin deslizar, por un plano inclinado, y relacionar ese comportamiento a la masa y al momento de inercia de dichos cuerpos.

Introducción:
En este trabajo observaremos el comportamiento de diferentes cuerpos rígidos al rodar, sindeslizar, por un plano inclinado y analizaremos de qué variables dependen las velocidades con las que llegan a la base del mismo.
N
Para ello realizaremos un planteamiento dinámico y otro energético respecto a un eje instantáneo de rotación.
Fre
P

Fig 1. Esquema del dispositivo utilizado
Analizaremos el movimiento del cuerpo rígidocomo un movimiento de roto traslación. Así, el movimiento de este puede representarse como una combinación de un movimiento traslacional del centro de masa y una rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.
Un caso importante de traslación y rotación combinadas es el de rodar sin deslizar, como por ejemplo el movimiento de un disco. Si el disco es simétrico y homogéneo, entonces sucentro de masa coincide con el centro de gravedad en las proximidades de la superficie terrestre. Observamos que el punto del disco que toca la superficie en un punto P debe estar instantáneamente en reposo para que no deslice.
Movimiento de roto-traslación
Movimiento de rotación
Movimiento de traslación

Fig 2. En la figura se muestra la suma de las velocidades de traslación y de rotaciónde un cuerpo extenso, dando como resultado la velocidad de roto traslación.
Si a un cuerpo rígido en movimiento de rotación le sumamos otro de traslación obtenemos un movimiento de roto traslación, donde cada punto del cuerpo tendrá dos velocidades: una debida a la rotación pura, o sea ωxR, y la otra será la velocidad de traslación v0 aplicada al cuerpo. Sumando ambas velocidadesobtendremos la velocidad total en un punto P:
vP=v0+ωxR
Dado que en la traslación, la velocidad en cualquier punto del cuerpo es igual a la velocidad del centro de masa del mismo, obtenemos:
vP=vcm+ωxR
No obstante, si un cuerpo rígido se desplaza con un movimiento de roto traslación existe un eje instantáneo de rotación, tal que todo punto que pertenezca a dicho eje deberá cumplir con la condición deque su velocidad sea instantáneamente nula. Luego:
vP=0 ⟹ 0=vcm+ωxR
Además, en la figura 2, podemos observar que la velocidad del centro de masa en el punto P es igual en magnitud y dirección a la velocidad de rotación respecto del centro de masa, pero de sentido opuesto. Como los vectores ω y R son perpendiculares entre sí, resolviendo nos queda:
vcm=ω.R (1)
Por otrolado, realizando el análisis energético del cuerpo rígido respecto del centro de masa vemos que:
Ec=Ecrot+Ectras (2)
donde: Ecrot=12Mvcm² (3)
Ectras=12Jcmω2 (4)
Reemplazando (3) y (4) en (2) obtenemos:
Ec=12Mvcm²+12Jcmω2 (5)
Elevando ambos miembros de la ecuación (1) al cuadrado y reemplazando luego en (5), nos queda:Ec=12Mω2R2+12Jcmω2
Sacando factor común y reordenando:
Ec=12(Jcm+MR2)ω2 (6)
Por el teorema de Steiner (o teorema de los ejes paralelos), sabemos que:
JP= Jcm+ MR² (7)
Reemplazando (7) en (6) obtenemos:
Ec= 12 JP ω² (8)
Si el disco cambia de altura al moverse, también debemos considerar la variación de energía potencial gravitatoria. Dicha energía para cualquier cuerpo extendido demasa M, es la misma que si sustituimos al cuerpo por una partícula de masa M situada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto es:
∆Epg=Mg∆h (9)
Planteamos variación de energía mecánica analizando el movimiento del disco respecto del punto P y obtenemos:
∆Em= Lnc
∆Ec+ ∆Epg= LFre
Como la fuerza de rozamiento es estática, el cuerpo está en reposo instantáneo, por lo...