Cuerpos finitos
Páginas: 79 (19676 palabras)
Publicado: 14 de diciembre de 2013
Traballo Fin de Grao
CUERPOS FINITOS Y SU
APLICACIÓN EN CÓDIGOS
CÍCLICOS
Sara Cotelo Morales
2012/2013
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
Traballo Fin de Grao
CUERPOS FINITOS Y SU
APLICACIÓN EN CÓDIGOS
CÍCLICOS
Sara Cotelo Morales
Septiembre, 2013
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
iii
Trabajo propuesto
Área de Coñecemento:Álgebra
Título: Cuerpos nitos y su aplicación en códigos cíclicos
Director/a: Nieves Rodríguez González
Breve descrición do contido
Estudio de los cuerpos nitos y el uso de los mismos para la codi cación
y descodi cación mediante códigos cíclicos.
Recomendacións
Tener superada la materia Ecuaciones Algebraicas y cursar, o tener
cursado, la materia Códigos Correctores y Criptografía.Outras observacións
Ser capaz de leer bibliografía en inglés.
Índice general
Resumen
vii
Introducción
ix
1. Cuerpos Finitos
1
1.1.
Existencia y unicidad de cuerpos nitos
1.2.
El retículo de subcuerpos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.
La estructura de los cuerpos nitos . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4.
Polinomiosirreducibles sobre cuerpos nitos . . . . . . . . . . . .
7
1.5.
Otra construcción de los cuerpos nitos
. . . . . . . . . . . . . .
9
1.6.
Representación de los elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.7.
Automor smos de un cuerpo nito . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.8.
Factorización de
xn − 1
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
xn − 1
1
15
1.8.1.
El cuerpo de escisión de
. . . . . . . . . . . . . . .
15
1.8.2.
Clases ciclotómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.8.3.
El algoritmo de factorización
18
. . . . . . . . . . . . . . . .
2. Códigos Cíclicos
21
2.1.
Representación polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
2.2.
Matriz generadora de un código cíclico . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3.
Codi cación de un código cíclico
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.4.
Descodi cación de códigos cíclicos
. . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.5.
Errores a Ráfagas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
A. Estructuras Algebraicas
A.1.Grupos
22
43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
A.2. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
A.3. El anillo de polinomios
K[x]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
A.4. Algoritmo de Euclides Extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
A.5. Función
φ
de Euler . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Códigos Lineales
51
53
B.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
B.2. Códigos Lineales
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3. Codi cación y descodi cación de códigos lineales
v
. . . . . . . . .
57
vi
ÍNDICE GENERAL
B.3.1. Codi cación y descodi caciónde fuente
. . . . . . . . . .
57
B.3.2. Descodi cación por el método del líder . . . . . . . . . . .
57
Bibliografía
63
vii
ÍNDICE GENERAL
Resumen
Se estudia la familia más importante de códigos correctores de errores, los
códigos cíclicos, que son los códigos lineales tales que el desplazamiento cíclico de
cualquier palabra del código produce una nueva palabra delcódigo. Se analizan
las propiedades principales de dichos códigos, haciendo uso de su rica estructura
algebraica, que se resume en el hecho de que pueden ser vistos como ideales de
un anillo cociente del anillo de polinomios en una variable sobre un cuerpo
nito. El hecho de ser ideales principales hace que se puedan de nir mediante
un polinomio generador, lo que facilita el desarrollo de...
CUERPOS FINITOS Y SU
APLICACIÓN EN CÓDIGOS
CÍCLICOS
Sara Cotelo Morales
2012/2013
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
Traballo Fin de Grao
CUERPOS FINITOS Y SU
APLICACIÓN EN CÓDIGOS
CÍCLICOS
Sara Cotelo Morales
Septiembre, 2013
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
iii
Trabajo propuesto
Área de Coñecemento:Álgebra
Título: Cuerpos nitos y su aplicación en códigos cíclicos
Director/a: Nieves Rodríguez González
Breve descrición do contido
Estudio de los cuerpos nitos y el uso de los mismos para la codi cación
y descodi cación mediante códigos cíclicos.
Recomendacións
Tener superada la materia Ecuaciones Algebraicas y cursar, o tener
cursado, la materia Códigos Correctores y Criptografía.Outras observacións
Ser capaz de leer bibliografía en inglés.
Índice general
Resumen
vii
Introducción
ix
1. Cuerpos Finitos
1
1.1.
Existencia y unicidad de cuerpos nitos
1.2.
El retículo de subcuerpos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.
La estructura de los cuerpos nitos . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4.
Polinomiosirreducibles sobre cuerpos nitos . . . . . . . . . . . .
7
1.5.
Otra construcción de los cuerpos nitos
. . . . . . . . . . . . . .
9
1.6.
Representación de los elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.7.
Automor smos de un cuerpo nito . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.8.
Factorización de
xn − 1
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
xn − 1
1
15
1.8.1.
El cuerpo de escisión de
. . . . . . . . . . . . . . .
15
1.8.2.
Clases ciclotómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.8.3.
El algoritmo de factorización
18
. . . . . . . . . . . . . . . .
2. Códigos Cíclicos
21
2.1.
Representación polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
2.2.
Matriz generadora de un código cíclico . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3.
Codi cación de un código cíclico
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.4.
Descodi cación de códigos cíclicos
. . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.5.
Errores a Ráfagas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
A. Estructuras Algebraicas
A.1.Grupos
22
43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
A.2. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
A.3. El anillo de polinomios
K[x]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
A.4. Algoritmo de Euclides Extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
A.5. Función
φ
de Euler . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Códigos Lineales
51
53
B.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
B.2. Códigos Lineales
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3. Codi cación y descodi cación de códigos lineales
v
. . . . . . . . .
57
vi
ÍNDICE GENERAL
B.3.1. Codi cación y descodi caciónde fuente
. . . . . . . . . .
57
B.3.2. Descodi cación por el método del líder . . . . . . . . . . .
57
Bibliografía
63
vii
ÍNDICE GENERAL
Resumen
Se estudia la familia más importante de códigos correctores de errores, los
códigos cíclicos, que son los códigos lineales tales que el desplazamiento cíclico de
cualquier palabra del código produce una nueva palabra delcódigo. Se analizan
las propiedades principales de dichos códigos, haciendo uso de su rica estructura
algebraica, que se resume en el hecho de que pueden ser vistos como ideales de
un anillo cociente del anillo de polinomios en una variable sobre un cuerpo
nito. El hecho de ser ideales principales hace que se puedan de nir mediante
un polinomio generador, lo que facilita el desarrollo de...
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