Cur 2 001 Numeros Reales

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Numeros
Reales

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MathCon c 2007-2009

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Contenido

1. Introducci´on
1.1. Propiedades b´asicas de los n´umeros naturales . .
1.2. Propiedades b´asicas de los n´umeros enteros . . .
1.2.1. Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. N´umeros primos . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . .
1.3.Propiedades b´asicas de los n´umeros racionales . .
1.3.1. Representaci´on de los n´umeros racionales
1.4. Numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Demostraciones
2.1. C´alculo proposicional . . . . . . . . . .
2.2. Conectivos l´ogicos . . . . . . . . . . .
2.3. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. M´etodos de demostraci´on . . . . . . . .
2.4.1. Para lacorrecci´on de teoremas .
2.4.2. Para la incorrecci´on de teoremas

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3. Ejemplos de demostraciones
3.1. M´etododirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. M´etodo indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. M´etodo del contraejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Numeros
Reales
4.1. Propiedades de campo de los N´umeros Reales
4.2. Propiedades de orden de los N´umerosReales
4.3. Exponentes en los N´umeros Reales . . . . . .
4.4. Valor Absoluto en los N´umeros Reales . . . .
4.4.1. Intervalos de n´umeros reales . . . . .
4.4.2. Distancia entre n´umeros reales . . . .

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Introduccion

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1.1. Propiedades b´asicas de los numeros
naturales
Definici´on: el conjunto de los n´umeros naturales es N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
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Propiedades de numeros
naturales:
1. Con los n´umerosnaturales podemos contar objetos.
2. Para todo n´umero natural n siempre existe su sucesor, es decir n + 1.
3. Los n´umeros enteros se pueden sumar: si n, m ∈ N, entonces se puede realizar la suma n + m
que tambi´en ser´a un n´umero natural (los naturales son cerrados bajo la suma).
a) La suma de naturales es conmutativa.
b) La suma de naturales es asociativa.
4. Los n´umeros naturales se puedenmultiplicar: si n, m ∈ N, entonces se puede realizar la multiplicaci´on n · m que tambi´en ser´a un n´umero natural (los naturales son cerrados bajo la multiplicaci´on).

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1.2. Propiedades b´asicas de los numeros
enteros
Definici´on: el conjunto de los n´umeros enteros es Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}

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1.2. PROPIEDADES BASICAS
DE LOS NUMEROS
ENTEROS

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Propiedades de numeros
enteros:
1. Losn´umeros enteros se pueden sumar:
a) La suma de enteros es cerrada: si n, m ∈ Z, entonces n + m ∈ Z.

b) La suma de enteros es conmutativa: si n, m ∈ Z, entonces n + m = m + n.

c) La suma de enteros es asociativa: si n, m, p ∈ Z, entonces n + (m + p) = (n + m) + p.

d) Existe un neutro aditivo, llamado cero y escrito 0 tal que n + 0 = 0 + n = n para todo
n ∈ Z.
e) Para todo n´umero entero a...