Curso de algebra superior

tabla de contenidos

INTRODUCCION 3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES. 4
SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES 4
MATRICES 6
SUBMATRIZ 7
TAMAÑO Y TIPO 7
OPERACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN 8
REDUCCIÓN POR RENGLONES 8
MATRIZ EN FORMA ESCALONADA POR RENGLONES 8
MATRIZ EN FORMA ESCALONADA POR RENGLONES REDUCIDA 9ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN 10
ELIMINACIÓN GAUSSIANA 14
SISTEMAS DE ECUACIONES HOMOGÉNEOS 15

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 18

MATRICES 18
TAMAÑO 18
IGUALDAD DE MATRICES 18
SUMA DE MATRICES 19
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR 19
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Y DEL PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR. 20
INVERSO ADITIVO Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES20
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 21
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 21
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 21
PRODUCTO DE DOS MATRICES 23
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES 24
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 25
SISTEMA HOMOGÉNEO ASOCIADO 26

INVERSA Y TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ CUADRADA 28

MATRIZ IDENTIDAD 28
INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA 29CÁLCULO DE UNA MATRIZ INVERSA 29
MATRICES EQUIVALENTES POR RENGLÓN 34
MATRIZ TRANSPUESTA 34
MATRIZ SIMÉTRICA 35
MATRICES TRIANGULARES 35

DETERMINANTES 36

DEFINICIÓN DE DETERMINANTE 36
DETERMINANTES DE 2 X 2 36
DETERMINANTES DE 3 x 3 38
EXPANSIÓN POR COFACTORES 38
MENOR 38
COFACTOR 39
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TRIANGULAR 40
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 41

DETERMINANTESE INVERSAS 48

MATRIZ DE COFACTORES 48
MATRIZ ADJUNTA 49
REGLA DE CRAMER 50

NUMEROS COMPLEJOS 52

DEFINICION DE NUMEROS COMPLEJOS 52
OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS 53
FORMA POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 53
FÓRMULA DE EULER. 56
OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS ESCRITOS EN SU FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA 56
GRAFICACION DE OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS 58

TEORÍA DEECUACIONES 60

DIVISIÓN DE POLINOMIOS 62
TEOREMA DEL RESIDUO 65
ECUACIONES ALGEBRÁICAS Y SUS RAÍCES 66
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA 68

BIBLIOGRAFIA 69

INTRODUCCION

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia, en forma general, los sistemas de ecuaciones lineales, las matrices, transformaciones mediante métodos algebraicos. Su estudio permite desarrollar elpensamiento abstracto, contribuyendo así a la formación matemática del estudiante. Además proporciona poderosas herramientas de cómputo para resolver problemas que se plantean en matemáticas y ciencias.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación de la forma Ax + By + C = 0 con constantes reales A, B y C es una ecuación lineal de las variables x e y. Esta ecuación representa una recta en el plano([pic]).
El ángulo que forma la línea recta con el semieje positivo x, en sentido anti-horario, se conoce como el ángulo de inclinación de la recta ( θ ).
Si se conocen dos puntos distintos de la recta, P(x1,y1) y Q(x2,y2), se puede calcular su pendiente m mediante:
[pic] si [pic].
La pendiente es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta. [pic]
Si x2=x1, entonces la rectaes vertical y su pendiente no está definida.

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales m1=m2 ( lo que significa que sus ángulos de inclinación son iguales). Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y opuestas [pic]

Rectas paralelas m1=m2 rectas perpendiculares m1= -1/m2
De una ecuación lineal de x e y de la forma Ax+By+C=0 pasamos a la forma deecuación pendiente-ordenada al origen: y=mx+b ( m la pendiente y b la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje y). Simplemente despejando la variable y (siempre y cuando B≠0). Donde tenemos que m= -A/B y b= -C/B.

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES.
Cada ecuación lineal de dos variables nos representa una recta en [pic], de manera que hay tres posibilidades:...