Curso intermedio de probabilidad

Curso intermedio de PROBABILIDAD

Luis Rinc´n o Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias UNAM Circuito Exterior de CU 04510 M´xico DF e Versi´n: Octubre 2007 o

Una versi´n actualizada del presente texto se encuentra disponible en formato o electr´nico en la direcci´n http://www.matematicas.unam.mx/lars o o

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Contenido

1. Espacios de probabilidad 1.1. Espacios deprobabilidad . 1.2. σ-´lgebras . . . . . . . . . a 1.3. Medidas de probabilidad . 1.4. Independencia de eventos 1.5. Lema de Borel-Cantelli . . 1.6. Ejercicios . . . . . . . . .

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1 1 3 20 33 37 42 57 57 68 74 81 84 94 101 108

2. Variables aleatorias 2.1. Variables aleatorias . . . . . . 2.2. Funci´n de distribuci´n . . . o o 2.3. Tipos de variables aleatorias . 2.4. Integral de Riemann-Stieltjes 2.5. Caracter´ ısticas num´ricas . . e 2.6.Distribuciones discretas . . . 2.7. Distribuciones continuas . . . 2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . 3. Vectores aleatorios 3.1. Vectores aleatorios . . . 3.2. Distribuci´n conjunta . o 3.3. Densidad conjunta . . . 3.4. Distribuci´n marginal . o 3.5. Distribuci´n condicional o . . . . . . . . . . . . . . .

141 . 141 . 144 . 149 . 156 . 160

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3.6. Independencia . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3.7. Esperanza de una funci´n de un vector aleatorio o 3.8. Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Coeficiente de correlaci´n . . . . . . . . . . . . . o 3.10. Esperanza y varianza de un vector aleatorio . . . 3.11. Distribuciones multivariadas discretas . . . . . . 3.12. Distribuciones multivariadas continuas . . . . . . 3.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4. Esperanza condicional 4.1. Esperanza condicional 4.2. Esperanza condicional: 4.3. Algunas propiedades . 4.4. Varianza condicional . 4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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163 168 171 173 179 181 183 186 213 214 215 220 223 226

5. Transformaciones 229 5.1. Transformaci´n de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . 229 o 5.2. Transformaci´n de un vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . 235 o 5.3. Ejercicios . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 261 6.1. Distribuciones muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 6.2. Estad´ ısticas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7. Convergencia 7.1. Tipos de convergencia . . . . . . . . . . . .7.2. Relaciones entre los tipos de convergencia . 7.3. Dos resultados importantes de convergencia 7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 287 297 303 306

8. Funciones generadoras 311 8.1. Funci´n generadora de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . 311 o 8.2. Funci´n generadora de momentos . ....