Curvas de nivel

MOISES VILLENA

Curvas

6
6.1. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL 6.1.1 DOMINIO 6.1.2 LIMITE 6.1.3 CONTINUIDAD TRAYECTORIA (CAMINO) GRAFICA. DEFINICIÓN TRAZA CURVA DERIVADA CONCEPTOS ASOCIADOS A LA DERIVADA

Objetivos.
• •

Se persigue que el estudiante: Describas curvas de R . Calcule velocidad, rapidez, aceleración, ecuación derecta tangente, ecuación de plano tangente (Rectificante), ecuación de plano Normal, ecuación del plano Osculador, Curvatura, aceleración normal, aceleración tangencial.
3

209

MOISES VILLENA

Curvas

6.1 FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL.
6.1.1 Definición.

Una FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE n REAL, es una función del tipo F : I ⊆ → tal que F (t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn( t ) ) ∈ n
Donde xi : I ⊆ → , i = 1, 2, , n ; son funciones reales de variable real t , llamadas Funciones Coordenadas de F .
Ejemplo1
Sea F : I ⊆
→
3

tal que F (t ) = (1 − 2t , 3 + t , − 1 + t ) .

Ejemplo 2
Sea F : I ⊆
→
3

tal que F (t ) = ( a cos t , bsent , t ) .

Ejemplo 3
Sea F : I ⊆
→
4

tal que F (t ) = ( t , t 2 , t 3 , 2t + 1)

Ejemplo 4
Sea F : I ⊆
→
3
t tF (t ) = t , t 2 , 3 1 − 25 − 16
2 4

(

)

6.1.2 Dominio

Sea F : I ⊆ → n , el dominio de F es el subconjunto de números reales I .
En decir, el conjunto de valores para correspondencia. Ejemplo1
Para F (t ) = (1 − 2t , 3 + t , − 1 + t ) , Dom F =

t,

que da sentido a la regla de

Ejemplo 2
Para F (t ) = ( a cos t , bsent , t ) , Dom F =

210

MOISES VILLENA

CurvasEjemplo 3
Para F (t ) = ( t , t 2 , t 3 ) , Dom F =

Ejemplo 4
t t Para F (t ) = t , t 2 , 3 1 − 25 − 16 , Dom F = t ∈
2 4

(

)

{

t t /1 − 25 − 16 ≥ 0
2 4

}

6.1.3 LIMITE 6.1.3.1 Definición.

Sea F : I ⊆ → n una función definida en el intervalo abierto I de y sea t0 un punto de I o un punto de frontera de I . Entonces lim F ( t ) = L , si y sólo si:
t →t0

∀ξ > 0, ∃∂ > 0/ 0 < t − t0 < ∂ ⇒ F − L < ξ
6.1.3.2 Teorema

Sea

F:I ⊆

→
t →t0

n

, tal que

F (t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,

, xn ( t ) ) .

Entonces lim F ( t ) = L = ( l1 , l2 ,
lim xi = li ; i = 1,2,
t →t0

, ln ) si y solo si
,n

Ejemplo.
Sea F (t ) = ( t 2 + 1, 2t , sent ) Hallar lim F (t ) .
t →0

SOLUCIÓN:
t →0

lim F (t ) = lim ( t 2 + 1) , lim 2t , lim sent
t →0 t→0 t →0

(

)

= (1, 0, 0 )

Ejercicios Propuesto 6.1
Calcular:

a)

Resp. a) (2, 2, 1 ) 2

lim ⎜ t , t 2 − 2t , t ⎟ t →2
⎝ ⎠

⎛

t2 − 4 1⎞

b) lim ⎜ et ,
t →0

⎛ ⎝

sen t − t ⎞ ,e ⎟ t ⎠

c) lim ⎜ t , 2 , 2t 2 ⎟ t −1 t →1 ⎝ ⎠ c) 1, 1 , 2 2

⎛

ln t

⎞

b) (1, 1, 1)

(

)

211

MOISES VILLENA

Curvas

6.1.4 CONTINUIDAD.

Sea F : I ⊆ → n . Entonces Fes continua en t0 ∈ I si lim F ( t ) = F ( t0 )
t →t0

6.1.4.1 Teorema

Sea

F:I ⊆

→

n

, tal que

F (t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,

, xn ( t ) ) .

Sea t0 ∈ I . Entonces F es continua en t0 si y sólo si sus funciones coordenadas xi lo son.
Ejemplo 1
F (t ) = ( t 3 + 1, t 2 − 2t , sent ) es continua en todo

.

Ejemplo 2
⎧⎛ 2 sent ⎞ ⎪⎜ t , t , ⎟ ;t ≠ 0 t ⎠ F (t ) = ⎨⎝⎪ ( 0, 0, 0 ) ; t = 0 ⎩
sent ⎞ ⎛ No es continua en t = 0 debido a que lim ⎜ t , t 2 , ⎟ = ( 0, 0,1) que es diferente de t →0 t ⎠ ⎝ F (0) = ( 0, 0, 0 )

Ejemplo 3
⎛ 1 ⎞ , t 3 ⎟ no es continua en t = −1 . F (t ) = ⎜ 2 ⎜ ( t + 1) ⎟ ⎝ ⎠

Ejercicios Propuesto 6.2
Analice la continuidad de: a) b) c)
r (t ) = t , t −1

r (t ) = t , arcsen t , t − 1 r (t ) = 8, t , 3 t

Resp. a) Dom r (t ) =[1,+∞] b) Dom r (t ) = [−1,1]

c) Dom r (t ) = [0,+∞]

212

MOISES VILLENA

Curvas

6.2 TRAYECTORIA (CAMINO) Una función F : I ⊆ → n continua se la llama trayectoria o camino en n si F está definida en un intervalo cerrado.
Suponga que el intervalo sea inicial de la trayectoria y Si Si Si SIMPLE.

I = [ a, b ]

entonces

F (a)

es el punto

F (b)

es el punto final.

F...