CURVAS DE NIVEL

CURVAS DE NIVEL

Para una función de 2 variables z = f(x , y), tenemos las curvas de nivel. Una curva de nivel es el conjunto de puntos (x , y) donde el valor de la función es una determinadaconstante z=k. Entonces para hallar una curva de nivel se analiza f(x , y) = k
Las curvas de nivel se grafican en z = k como una proyección de las curvas en el resto de los planos "z".
EJEMPLO:
Consideremoscomo ejemplo la función f(x , y) = x^2 +y^2.
La curva de nivel correspondiente a z = 0 seria x^2 +y^2 = 0, es decir, es el punto (x , y) = (0 , 0), que es la única solución a este caso, ya que 0^2+0^2 = 0.
La curva de nivel correspondiente a z = 1 sería x^2 +y^2 = 1, que es la gráfica de un círculo de radio 1.
La curva de nivel correspondiente a z = 2 sería x^2 +y^2 = 2, que es la gráfica de uncírculo de radio √2.
La curva de nivel correspondiente a z = 4 sería x^2 +y^2 = 4, que es la gráfica de un círculo de radio 2.


La curva de nivel correspondiente a cualquier número negativo en estafunción no existe, porque los números reales elevados al cuadrado dan como resultado un número positivo, y la suma de números positivos es otro número positivo.
Si graficas varias curvas de nivel paraesta función quedarán como círculos concéntricos con centro en el (0 , 0).
SUPERFICIES DE NIVEL

Para una función de 3 variables w = f(x , y , z), tenemos las SUPERFICIES de nivel. Una superficie denivel es el conjunto de puntos (x , y , z) donde el valor de la función es una determinada constante w=k. Entonces para hallar una curva de nível se analiza f(x , y , z) = k.
EJEMPLO:
Consideremos comoejemplo la función
f(x , y, z) = x^2 +y^2 +z^2
La superficie de nivel correspondiente a z = 0 seria
x^2 +y^2 +z^2= 0, es decir, es el punto (x , y, 0) = (0 , 0 , 0), que es la única solución a este,ya que 0^2 +0^2 +0^2 = 0.

La superficie de nivel correspondiente a z = 1 sería
x^2 +y^2 +y^1= 1, que es la gráfica de una esfera de radio 1.
La superficie de nivel correspondiente a z = 2 sería
x^2...