curvilineas

Coordenadas curvil´ıneas
2 de septiembre de 2015

1.

Introducci´
on.

En este cap´ıtulo vamos a estudiar una herramienta fundamental para tratar problemas de
F´ısica de diversa ´ındole donde se requiere el uso de parametrizaciones especiales del espacio y de
las estructuras definidas en ´el. Particularmete es u
´til en el tratamiento de ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales donde sepresentan cierto tipo de condiciones de frontera, pero tambi´en este
estudio nos abre la puerta a una generalizaci´on a espacios geom´etricos de gran inter´es en F´ısica
como los espacios riemanianos o los pseudo-riemanianos de la Relatividad General.
Comenzaremos con un breve repaso de la geometr´ıa de espacios eucl´ıdeos y estructuras definidas
en ellos, como campos vectoriales y de formas.Seguidamente veremos c´omo cambia el aspecto de
dichas estructuras cuando describimos el espacio en coordenadas curvilieneas generales. Daremos
una descripci´on geom´etrica de los distintos operadores diferenciales definidos en estos espacios
y daremos una forma invariante de ´estos en t´erminos de un sistema general de coordenadas.
Finalmente daremos una descripci´on constructiva de diferentes sistemascoordenados u
´tiles en las
aplicaciones f´ısicas.

2.

Preliminares: espacios Eucl´ıdeos y estructuras tensoriales.

En muchas situaciones f´ısicas es muy u
´til representar al espacio f´ısico como un espacio eucl´ıdeo
E tridimensional. Aunque suponemos que el lector est´a bien familiarizado con este concepto matem´atico revisaremos aqu´ı algunas propiedades b´asicas a modo de otorgarautoconsistencia al
relato del resto del cap´ıtulo. No trataremos de ser exahustivos en el rigor matem´atico pero si enfatizaremos las propiedades y definiciones que a nuestro criterio nos parecen m´as esenciales para
los objetivos planteados.
Definici´
on: Diremos que E es un espacio eucl´ıdeo n− dimensional si E es un conjunto no
vac´ıo cuyos elementos llamaremos puntos, V es un espacio vectorial n−dimensional sobre R con
producto escalar, y f es una funci´on
f : E × V −→ E
(P, v) −→ Q,
1

(1)

que cumple a) f (P, v) = P si y solo si v = 0, y b) f (f (P, v), w) = f (P, v + w) para todo P ∈ E y
v, w ∈ V.
Por abuso del lenguaje decimos que E es el espacio eucl´ıdeo pero en estricto rigor este est´a definido por la terna (E, V, f ) definidos arriba.Esta definici´on no es m´as que la idea familiarde que
el espacio f´ısico es un conjunto de puntos, en cada uno de los cuales podemos elegir una direcci´on
o vector que nos conecta de un punto a otro. Tanto la funci´on f como los elementos del espacio
vectorial V se denotan resumidamente del siguiente modo:
Q = f (P, v) ≡ P + v,

v ≡ P Q.

(2)

Por tanto las propiedades de la funci´on f se traducen en,
P Q = 0 sii P = Q,

P Q + QR = P R,Sistema de coordenadas cartesiano: Es evidente que si fijamos un punto O de E la funci´on
fO = f (O, ·) que lleva cada vector v ∈ V en el punto P = f (O, v) ∈ E es una biyecci´on de V
en E. Adem´as con esta biyecci´on la funci´on (1) es simplemente la suma vectorial los vectores que
representan puntos y de los propios vectores de V. Este hecho motiva la notaci´on vectorial para
representar los puntos deE. A´
un m´as si fijamos una base de V de la forma {ei }ni=1 , entonces podemos expresar los puntos de E por medio de las componentes de los vectores que representan los
puntos en t´erminos de la base vectorial dada. Por ejemplo si fijamos un punto O ∈ E que llamaremos origen, entonces dado un punto P ∈ E cualquiera designamos x(P ) = OP o simplemente x al
vector correspondiente dada por labiyecci´on mencionada. Entonces dicho vector puede escribirse
como una combinaci´on lineal de los vectores de la base dada, es decir,
∗nxi ei ,

x=
i1

donde los coeficientes reales xi se denominan las coordenadas del punto P en el sistema de referencia definido por el origen O y la base {ei }ni=1 . Adem´as cuando esta base vectorial est´a normalizada
y es ortogonal (base ortonormal), es decir ei ·ej...