Cónicas




ÍNDEX












1.INTRODUCCIÓ

En aquest treball parlarem sobre les còniques, que són aquelles formes geomètriques formades per la intersecció d’un con amb el pla. Les còniques no són funcions normals i corrents, es diferencien d’aquestes perquè per a cada valor que li atribuïm a l’X, aconseguim més d’un valor d’Y. En canvi, en les funcions, solament hi ha un valor de Yper a cada valor d’X.
Depenent de l’angle d’intersecció del pla amb el con, es poden originar quatre tipus diferents de còniques, de les quals tracta aquest treball. Els quatre tipus són:

La circumferència: Es tracta d’una corba tancada. És un tipus d’el·lipse paral·lela a la base del con.


L’el·lipse: És una corba tancada.



La paràbola: Es tracta d’una corba oberta.L’hipèrbola: La componen dues corbes obertes.



2. CIRCUMFERÈNCIA

2.1)Definició de circumferència:

Sabem que la circumferència és una corba tancada i que conté un conjunts de punts del pla els quals equidisten a un punt anomenat centre. Anomenem radi a la distància entre un punt qualsevol de la corba i el centre de la circumferència.
D’aquesta manera definim circumferència com el lloc geomètric delspunts del pla que equidisten d’un punt fix, el centre, una distància igual al radi.

2.2)Equació de la circumferència:
L’equació de la circumferència ens permet determinar la relació que s’estableix entre un punt de la corba i el centre de la circumferència.
Com que la distància o radi entre un punt de la corba i el centre és comuna, podem dir:

Sigui “C” el centre de la circumferència i“P” el punt determinat en la corba de la circumferència i “r” el radi, aquesta equació explica que la distància entre el centre i un punt és igual al radi.
Com que la distància entre els punts C i P és el mòdul del vector que passa pels punts C i P, podem escriure:

On “a” és la component X del punt C, i “b” és la component Y del punt C; “x” és la component X del punt P i “y” és la component Ydel punt P.

I per últim, si elevem al quadrat els dos membres de l’última igualtat, obtenim l’equació de la circumferència.


De tal manera, amb aquesta equació podem saber si un punt pertany a la circumferència o no.

Exemple 1:
Pertany el punt P=(2,3) a la circumferència de centre C=(2,1) i de radi r=2?
L’equació de la circumferència de centre C(2,1) i radi r=2 és:

Ara substituïm x iy per les coordenades del punt P que volem verificar:



Comprovem que sí es compleix la igualtat i per tant, P pertany a la circumferència.

De vegades podem buscar punts de la circumferència donant un valor a la x i calculant la y o a l’inrevés. Però no tots els valors pertanyen a la recta: alguns no pertanyen, d’altres poden pertànyer a dos punts i d’altres a un sol punt.
Fixem-nos en lasegüent imatge:









Podem comprovar que hi ha valors que pertanyen a dos punts. A l’eix de les x, quan y=0 veiem que trobem dos punts que pertanyen a la circumferència. Si ens fixem en l’eix y veiem com només un punt hi pertany. I en cas de que agaféssim el valor x=5 i calculéssim la y, veuríem que no pertany a la circumferència.
Exemple 2:
L’equació de la circumferència és .Determina’n el centre i el radi.
Basant-nos en que l’equació principal de la circumferència és:Si ens fixem en el primer terme de les dues equacions donades, veiem que només la x està elevada al quadrat, per tant, deduïm que el valor de a és zero. I el mateix passa amb el segon terme. Ho podem escriure de la següent forma:
Igualem el primer terme de cada equació





Realitzem el mateixprocediment amb el segon terme
→

Finalment igualem l’últim terme



Solució: Centre C=(0,0) i el radi r=4 (Només agafem el resultat positiu)





2.3) Posicions relatives d’una recta i una circumferència:

Segons la posició d’una recta respecte d’una circumferència, la recta pot ser:
a) Secant: té dos punts en comú amb la circumferència.
b) Tangent: només...