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3.1 Medidas de Posición para Datos Agrupados y sin Agrupar. Medias
Aritméticas simples y ponderadas. Media Geométrica y Armónica. Mediana y
Modo. Cuartíles y Decíles.
Un promedio es un valor típico de un conjunto de datos. Como tales valores
suelen situarse en el centro del conjunto de datos ordenados por su magnitud,
los promedios se conocen también como “medidas de centralización”.
3.1.1-Media Aritmética
La media aritmética, o media, es un conjunto de N números x1,x2,x3.....xn se
representa por X y se define como:
Ejemplo: La media aritmética de los números 6, 3, 7, 10, 15 es:
9
Si los números x1,x2....xk aparecen f1,f2....fk veces cada uno la media
aritmética será:
Dado que N = f, o sea la frecuencia total.
Ejemplo: Si 6, 3, 7, 10, 15 aparecen con frecuencias 5, 4, 3,2 y 1
respectivamente la media será:
3.1.2- Media Aritmética Ponderada
En ciertas circunstancias se asocian a los números x1, x2...xn ciertos factores
o pesos w1, w2, ...wk que normalmente indican la importancia relativa de cada
uno de los números.
En este caso la media será:
Y se denomina “media ponderada”, se observa una notable similitud con la media
de números cuando estos se repiten.Ejemplo: La evaluación de los alumnos del curso serán dos exámenes parciales y
un examen final cuyo valor es equivalente a tres veces los exámenes parciales,
siendo las calificaciones 7, 6 y 6 respectivamente, luego:
Propiedades de la Media Aritmética
a)- La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto respecto de su media
aritmética es cero.
b)- La suma de los cuadrados de lasdesviaciones de un conjunto de números xi,
respecto de cualquier número a es mínima solo si a=X.
c)- Si fi números tienen por media a m1 f2 números tienen por media m2,...fk
números tienen por media mk, entonces la media de todos los números es:
o sea una media ponderada de todas las medias.
d)- Si A es cualquier supuesta media aritmética y si di= xi – A son las
desviaciones de xi respecto de A,las ecuaciones 3.1 y 3.2 se convierten en:
Donde..............
Las ecuaciones 5 y 6 se pueden resumir como ..........
Utilizar el método clave para hallar la media aritmética de las alturas de los
100 estudiantes de la Universidad.
Solución:
10
Marca de Clase | Desviaciones d=x-A | Frecuencias | f-d |
61 | -6 | 5 | -30 |
64 | -30 | 18 | -54 |
67 | 0 | 4 | 2 0 |
70 | 3 | 27 | 18|
73 | 6 | 8 | 48 |
| | =f=100 | fd=45 |

21- Indicando por dj=x-A, las desviaciones de cualquier marca de clase xi
respecto de una marca de clase A en una distribución de frecuencias.
Demostrar c, si tiene a) las desviaciones son todas multiplos de c, es decir
dj=cnj donde nj= 0+- 1, +-2,....
a) La media aritmética puede ser obtenida de la fórmula ................................b) De la tabla vemos que las desviaciones son multiplos de c=3 (el tamaño del
intervalo). Entonces dos marcas de clase cualquiera difieren en:
Que es multiplo de c.
c) Hemos visto que las desviaciones de todas las marcas de clase, respecto de
una dada son multiplos de c. Entonces:
Esto es equivalente a que se saca de sin más que sustituir
de dos por cn.
Media Aritmética calculada a partirde datos agrupados.
Cuando los datos se presentan mediante una distribución de frecuencia, todos
los valores caen dentro de los intervalos de clase dados.
Las expresiones 3 (-2) y (3,6) son válidas para tales datos agrupados, si se
forma xi como la marca de clase y fi su correspondiente frecuencia de clase, A
una marca de clase cualquiera y di=xi-A. Las desviaciones de xi respecto de A.
Sitodos los intervalos de clase tienen igual tamaño c, las desviaciones di=xi-A,
pueden expresarse como cui, donde ui puede ser un número entero positivo,
negativo o cero, luego la fórmula 3.6 queda
La que resulta equivalente a la ecuación . Este se llama “método clave”
para el cálculo de la media y por ser muy corto y práctico debería usarse
siempre.
3.1.2- Mediana
La mediana de una...
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