De los primos a los logaritmos

Francisco Cacià Álvarez
Desde los primos hasta los logaritmos
La globalización de contenidos es una tarea imperativa en la enseñanza matemática. El presente taller sugiere un camino que inicia desde la teoría numérica, usa ideas algebraicas, relaciones, funciones, trabajo con potencias, ecuaciones cuadráticas hasta llegar a relaciones logarítmicas.
Números Primos:
Entre las muchas cuestionesen las que están implicados los números primos, una de las más interesantes concierne a su distribución entre los números naturales. ¿Se distinguen de sus parientes no primos de una manera puramente al azar? ¿O existe alguna regla, algún patrón discernible con el que ocurren los números primos? La respuesta a la última pregunta es "una especie de". Si ésta parece una especie de respuesta evasivae insatisfactoria, espero mostrar que realmente es una respuesta muy atrevida que parafrasea uno de los resultados más espectaculares de todas las matemáticas: el teorema de los números primos.
A continuación, se escriben los primeros 25 números primos menores que 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,

43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Si hay aquí unpatrón, no es nada claro. Por supuesto, todos los números primos mayores que 2 son impares, pero esto no es de mucha ayuda. Advertimos unas cuantas lagunas en los números primos: no hay ninguno del 24 al 28 ni del 90 al 96, siendo este último número una serie de siete números compuestos consecutivos. Por otra parte, vemos que algunos números primos ocurren solamente separados dos unidades -porejemplo, 5 y 7 ó 59 y 61-. Estos números primos contiguos, que tienen la forma de p y p+2, se llaman números primos gemelos.
Para aumentar el número de datos, reunimos todos los números primos desde el 101 al 200:
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 139, 149,151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 193, 197, 199
Esta vez hay 21 números de esta clase. Una vez más observamos lagunas,como los nueve números compuestos seguidos del 182 al 190, aunque los números primos gemelos persisten a lo largo de esos números hasta el 197 y 199.
En un estudio de la distribución total de números primos, parecía que las lagunas (en las que los números primos consecutivos están muy separados) y los números primos gemelos (en los que los números primos consecutivos están muy juntos)deberían jugar un importante papel. ¿Existen lagunas más largas entre los números primos? ¿Son las existencias de números primos gemelos infinitos? Interesantemente la primera pregunta se responde fácilmente, pero la segunda es uno de los misterios irresueltos de la teoría de números.
Comencemos con la respuesta fácil. Supongamos que se nos pide una ristra de cinco números compuestosconsecutivos. Consideremos los números:
6!+2 = 722, 6!+3 = 723, 6!+4 = 724, 6!+5 = 725, 6!+6 = 726
Es fácil ver que ninguno de estos números es primo, pero es más instructivo preguntar por qué esto es así. El primer número es 6!+2 = 6•5•4•3•2•1+2. Puesto que 2 es un factor de 6! y de sí mismo, 2 es un factor de la suma 6!+2. De ahí que 6!+2 no sea un número primo. Pero tampoco lo es 6!+3 =6•5•4•3•2•1+3, ya que 3 divide igualmente a ambos términos y por consiguiente a la suma de los dos. Asimismo, 4 es un factor de 6! y de 4, y, por tanto de su suma, igualmente 5 es un factor de 6!+5, y 6 es un factor de 6!+6. Puesto que cada uno de estos números tiene un factor, ninguno es primo. Hemos generado, por tanto, cinco números consecutivos que no son primos.
Se puede argüirconvincentemente que hemos realizado una búsqueda demasiado complicada. Después de todo, los cinco números compuestos seguidos 24, 25, 26, 27, 28 servirían exactamente igual. ¿Por qué introducir factoriales que nos llevan hasta el 700?
La respuesta es que necesitamos un procedimiento general. Si nos piden una serie de 500 números compuestos seguidos, el examen de una lista de números primos no...