De Todo Un Poco
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Publicado: 25 de octubre de 2012
Cálculo infinitesimal
El cálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, alser la opción convencional en el análisis matemático.10 11
[editar] Cálculo diferencial
Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadasparciales se obtiene
Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuacionesparamétricas
Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta
Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r,r(θ)):
[editar] Cálculo integral
La región R está delimitada por la curva r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b.
Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y lassemirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por
La región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5).
Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. Enprimer lugar, el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total delintervalo) dividido por n (el número de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi), ángulocentral Δθ y longitud de arco . El área de cada sector es entonces igual a
.
Por lo tanto, el área total de todos los sectores es
Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En ellímite, cuando n → ∞, la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral
[editar] Generalización
Usando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede...
El cálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, alser la opción convencional en el análisis matemático.10 11
[editar] Cálculo diferencial
Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadasparciales se obtiene
Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuacionesparamétricas
Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta
Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r,r(θ)):
[editar] Cálculo integral
La región R está delimitada por la curva r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b.
Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y lassemirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por
La región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5).
Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. Enprimer lugar, el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total delintervalo) dividido por n (el número de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi), ángulocentral Δθ y longitud de arco . El área de cada sector es entonces igual a
.
Por lo tanto, el área total de todos los sectores es
Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En ellímite, cuando n → ∞, la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral
[editar] Generalización
Usando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede...
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