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Curvas y superficies cilíndricas


Planos

Veamos primero algunos planos que nos van a ser útiles un poco más adelante.

$\bullet \;$ El plano (horizontal) $xy$, donde $z = 0$;



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$\bullet \;$ El plano (vertical) $yz$, donde $x = 0$;





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$\bullet \;$ El plano (vertical) $xz$, donde $y = 0$.



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Curvas en el espacio

Vamos a considerar curvas en el espacio tridimensional, pero definidas sobre uno de los planos $XY$, $XZ$ o $YZ$ y con ecuaciones del tipo:
en el plano $XY$, $y=y(x)$ o $x=x(y)$ o definidas de manera implícita por $\;F(x,y) = 0$
en el plano $XZ$, $z=z(x)$ o $x=x(z)$ o definidas de manera implícita por $\;F(x,z) = 0$
en el plano $YZ$, $z=z(y)$ o $y=y(z)$ odefinidas de manera implícita por $\;F(y,z) = 0$
Consideremos los siguientes ejemplos


1. La recta $\;x+y=1$


Figura 7.

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2. La hipérbola





Figura 8.

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3. La parábola $\;z=4 - \frac{x^2}{4}$



Figura 9.

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4. La Elipse $\displaystyle{\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(z+1)^2}{9}=1} $Figura 10.

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5. La parábola $\;(z-1)^2=-2(y-1)$




Figura 11.

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Curvas sobre los planos $x=a$, $y=b$, o $z=c$



Una curva sobre un plano $x=a$, $y=b$, o $z=c$ , se describe dando la ecuación de la curva y el plano sobre la cual se encuentra. Eventualmente, estas curvas correspoden a a una traza.



Ejemplos 8.Dibujar las siguientes curvas:



Parábola $\;{\left( y - 3 \right) }^2 = z + 1$ sobre el plano $ x=2$
Elipse $\displaystyle{\frac{{\left( x - 2 \right) }^2}{4} +
\frac{{\left( y - 4 \right) }^2}{16} = 1}$ sobre el plano $ z=3$

Hipérbola $\displaystyle{\frac{{\left( x - 3 \right) }^2}{4}
- {\left( z - 2 \right) }^2 = 1}$ sobre el plano $ y=3$
Solución

Para dibujar cada una de lascurvas, primero trasladamos los ejes.
$\bullet \;$ Parábola: trasladamos los ejes YZ hasta $ x=2$ y dibujamos sobre estos ejes.





Figura 14.

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$\bullet \;$ Elipse: trasladamos los ejes X e Y hasta $ z=3$ y dibujamos sobre estos ejes.





Figura 15.

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$\bullet \;$ Hipérbola: trasladamos los ejes X y Z hasta $ y=3$ ydibujamos sobre estos ejes.


Figura 16.

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Superficies cilíndricas
Una buena parte de las superficies con las que trabajaremos en el curso se generan a partir de una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la gráfica de una superficie de este tipo es muy simple, la idea es arrastrar lageneratriz en la dirección de la directriz, el movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza que va dejando. En la figura 7, la curva generatriz es una párabola y como directriz se usa el vector u = ( 0, 5, 0). En el software para este ejemplo, se puede cambiar la curva y la trayectoria u.





Figura 7.
> [Ver superficie generada por la parábola en 3D]
> [Versuperficie generada por sen(x) en 3D]
>
[Ejemplo general: superficies generadas a partir de una curva C y una trayectoria u ]



Definición (cilindro)


Sea $C$ una curva sobre un plano $\Pi$ llamada directriz y sea $L$ una recta no paralela al plano $\Pi$, llamada generatriz. Entonces el conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a $L$ que intersecan a $C$ es un cilindroObservación : esta definición es una generalización del conocido cilindro circular recto donde, por ejemplo, la generatriz es $x^2+y^2=r^2$ que esta sobre el plano $xy\;$ y la directriz es paralela al eje $z$.Para los fines del curso, vamos a estar interesados únicamente en cilindros cuyas curvas generatrices están sobre planos paralelos a los planos coordenados y cuyas directrices son rectas...