deduccion de ecuacion diferencial

EJERCICIO 12
Por un agujero circular de area Ah ,en el fondo de un tanque,sale agua. Debido a la fricción y la contracción de la corriente cercaal agujero, el ‡
ujo de
1
agua, por segundo, se reduce a cAh (2gh) 2 , donde c(0 < c < 1). Deduzca una
ecuación diferencial que exprese la alturah de agua al tiempo t, que hay en
el tanque conico circular fecto de la …gura, el radio del agujero es 2 pulgadas,
t
g = 32 f2 y el factor defricción y contracción es c = 0:6.
s

V =

1
3

2
rw h =

dV =

1
3

dh
dt

1
3

Aw h

3 dV
Aw dt

=

Aw dh

dV
dh

!dh
dt

!

=
=

2
Ah = ( 12 )2 =

1

= cAh (2gh) 2

Aw dh
3 dt
1

3
Aw [

cAh (2gh) 2 ]

2
Ah = rh

rh = 2in

dV
dtcaudal

(1)

12in = 1f t

36

por semejanza de triangulos
8
20

=

rw
h

!

2
Aw = rw = ( 2 h)2
5

rw = 2 h
5
!

Aw =4 2
25 h

reemplazando en (1)
1
dh
3
6
[ 10 36 (2gh) 2 ]
4
dt =
h2
25

1
1
2
20 (2gh) ]

dh
dt

=

25
4h2 [

dh
dt

=5(2g) 2
16

dh
dt

=

1

1

h
[ ( h4 ) 2 ]

5(8)
16 h

3
2

!

dh
dt

=

!

dh
dt

5
16h2 [

=

1

(2gh) 2]
1

!

dh
dt

1

5[2(32)] 2
16

=

5
2 h

3
2

h

3
2

resolviendo la ecuacion diferencial
R

3

h 2 dh =

5
2 25h

=

5
2 2
5 h

t=

R

5
2 t

5
2 dt

+k

+ k = 5t
2

5
4 2
25 h

+ 2k
5

t=

!

2

4 5
2
25 h

+ k1