Definición de Cuaternión


Definición de Cuaternión.
Llamaremos cuaternión o simplemente hipercomplejos de Hamilton a una expresión de la forma: Q = a + b i + c j + d k con:
a, b, c, d Î Â . Además i, j, k unidades imaginarias, soluciones dos a dos de la ecuación x2 = -1.
i j = k = - j i ;
j k = i = - k j;
k i = j = - i k;
i2 = j2 = k2 = -1
Diremos que un cuaternión es imaginario puro si el elemento primer elemento de laexpresión es igual a cero (a = 0).
Decimos que Q = Q/, con Q, Q/ ΠQ; es decir dos cuaterniones son iguales, si, y sólo si, son equivalentes las componentes de su parte real e imaginarias:
a = a/
b = b/
c = c/
d = d/
Representaciones de los cuaterniones
Vectorial
Un cuaternión puede expresarse como el conjunto:

o equivalentemente:

Entonces un cuaternión es un número de laforma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión.
Análogamente, un cuaternión puede expresarse como el producto interno (componente a componente) de dos vectores, de los cuales uno es el de las componentes , y el otro el de las "bases": . En este caso, el elemento a1 que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente lastres bases i, j, k:

Esta representación tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones.
Matricial
Además hay, al menos, dos formas, isomorfismos, para representar cuaterniones con matrices. Así el cuaternión  se puede representar:
Usando matrices complejas de 2x2:

Donde el conjunto de todas las matrices anteriores se designa mediante . Cuyosubconjunto SU(2), los cuatenios unitarios, juegan un papel importante en la teoría de gauge y de donde es fácil ver que el determinante es igual a . Una propiedad interesante de esta representación es que todos los números complejos son matrices que sólo tienen componentes reales.
Usando matrices reales de 4x4:

También en este caso el determinante de la matriz resulta igual a 
Aritmética básica decuaterniones
Definimos la suma y producto entre cuaternios mediante la aritmética usual de las matrices y de los números complejos. Puede comprobarse que el conjunto , junto con estas operaciones, satisface todas las propiedades de un campo con excepción del producto que no es conmutativo.

Adición
La adición se realiza análogamente a como se hace con los complejos, es decir: término a término:Producto
El producto se realiza componente a componente, y está dado en su forma completa por:

Una forma ligeramente más reducida puede ser: 

El producto entre cuaterniones es asociativo y no es conmutativo.
Conjugación
El conjugado de un cuaternión  está dado por . En otras palabras, el conjugado invierte el signo de los componentes "agregados" del cuaternión. Matricialmente esto corresponderáa la operación de trasposición de cualquiera de sus representaciones matriciales.
La medida o valor absoluto de un cuaternión x está dado por:
 Matricialmente, esta medida coincide con la raíz cuadrada del determinante de la matriz que representa al cuaternión. Esta medida cumple una propiedad similar al módulo de un número complejo: |zw| = |w| |z| para cualesquiera cuaterniones z y w.
Usando comonorma el valor absoluto, los cuaterniones conforman un álgebra de Banach real.
Cociente
Usando la forma del inverso, es posible escribir el cociente de dos cuaterniones como:

El inverso multiplicativo de un cuaternión x, distinto de cero, está dado por:
. El cual es mismo patrón que cumplen los números complejos.
Exponenciación
La exponenciación de números cuaterniónicos, al igual que sucede conlos números complejos, está relacionada con funciones trigonométricas. Dado un cuaternión escrito en forma canónica q = a + bi + cj + dk su exponenciación resulta ser:

Comparación con matrices
La multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa al igual que en el caso de los cuaterniones. Sin embargo, tampoco todas las matrices poseen un inverso multiplicativo mientras que...