Cuaterniones

Representaciones de los cuaterniones
Vectorial
Un cuaternión puede expresarse como el conjunto:

o equivalentemente:

Entonces un cuaternión es un número de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión.
Análogamente, un cuaternión puede expresarse como el producto interno (componente a componente) de dos vectores, de loscuales uno es el de las componentes , y el otro el de las "bases": . En este caso, el elemento a1 que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i, j, k:

Esta representación tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones.
Matricial
Además hay, al menos, dos formas,isomorfismos, para representar cuaterniones con matrices. Así el cuaternión se puede representar:
• Usando matrices complejas de 2x2:

Donde el conjunto de todas las matrices anteriores se designa mediante . Cuyo subconjunto SU(2), los cuatenios unitarios, juegan un papel importante en la teoría de gauge y de donde es fácil ver que el determinante es igual a . Una propiedad interesante de estarepresentación es que todos los números complejos son matrices que sólo tienen componentes reales.
• Usando matrices reales de 4x4:

También en este caso el determinante de la matriz resulta igual a
Aritmética básica de cuaterniones
Definimos la suma y producto entre cuaternios mediante la aritmética usual de las matrices y de los números complejos. Puede comprobarse que el conjunto , juntocon estas operaciones, satisface todas las propiedades de un campo con excepción del producto que no es conmutativo.

Adición
La adición se realiza análogamente a como se hace con los complejos, es decir: término a término:

Producto
El producto se realiza componente a componente, y está dado en su forma completa por:

Una forma ligeramente más reducida puede ser:

El producto entrecuaterniones es asociativo y no es conmutativo.
Conjugación
• El conjugado de un cuaternión está dado por . En otras palabras, el conjugado invierte el signo de los componentes "agregados" del cuaternión. Matricialmente esto corresponderá a la operación de transposición de cualquiera de sus representaciones matriciales.
• La medida o valor absoluto de un cuaternión x está dado por:Matricialmente, esta medida coincide con la raíz cuadrada del determinante de la matiz que representa al cuaternión. Esta medida cumple una propiedad similar al módulo de un número complejo: |zw| = |w| |z| para cualesquiera cuaterniones z y w.
Usando como norma el valor absoluto, los cuateriones conforman un álgebra de Banach real.
Cociente
Usando la forma del inverso, es posible escribir el cocientede dos cuaterniones como:

El inverso multiplicativo de un cuaternión x, distinto de cero, está dado por:
. El cual es mismo patrón que cumplen los números complejos.
Exponenciación
La exponenciación de números cuaterniónicos, al igual que sucede con los números complejos, está relacionada con funciones trigonométricas. Dado un cuaternión escrito en forma canónica q = a + bi + cj + dk suexponenciación resulta ser:

Comparación con matrices
La multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa al igual que en el caso de los cuaterniones. Sin embargo, tampoco todas las matrices poseen un inverso multiplicativo mientras que todos los cuaternios diferentes del cero si son invertibles.
Detalles algebraicos
Los cuaterniones son un ejemplo de cuerpo asimétrico (a vecesllamado anillo con división), una estructura algebraica parecida a un cuerpo pero no conmutativo en la multiplicación, es decir: satisfacen todas las propiedades de un cuerpo con excepción de que el producto no es conmutativo. La multiplicación es asociativa y todo cuaternión no nulo posee un único inverso. Forman una -álgebra asociativa 4-dimensional sobre los reales y los complejos forman un...