Definición De Derivada Y Una Breve Aplicación Al Area De Economia

DEFINICIÓN DE DERIVADA Y
UNA BREVE APLICACIÓN AL
AREA DE ECONOMIA

INTEGRANTES: Maricel Parada,
Jimena Arias
Paola Mera

Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente,
y=f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
•Continuidad
•Asíntotas y ramas parabólicas

Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:

•

Intervalos de crecimiento /decrecimiento

•

Máximos y mínimos relativos

Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

IMPORTANCIA DE LAS TANGENTES

La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e
intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:

m=0
m>0

m<0

m=0

m<0

En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir, lapendiente es 0)
En los tramos de crecimiento
la recta tangente tiene
pendiente positiva, en los de
decrecimiento la tiene
negativa.

Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
La derivada de la función f en a se denota con el
símbolo f ’(a), que se lee “f prima de a”

y=3
y=1,2x+1,5

f ’( -4,5)= -3/2 porque la tangenteen
el punto de abscisa 4,5 tiene
pendiente -3/2.
f ’(-2)= 0

f ’(2)=1,2
y=-1,3x+13
y=-3/2x-24
y=-4

f ’(4)=0

f ’(6)=-1,3

COMO CALCULAR LA TANGENTE EN UN PUNTO

(3,2)
(1,-1)

Conocidos dos puntos de la
recta tangente puedo
calcular su ecuación.
Pasa por (1,-1)
y=mx+n
-1=m+n
Pasa por (3,2)
2=m·3+n

Resolviendo el sistema:
y= 3/2 x-5/2
De esta manera f’(3)=3/2

(3,2)=(x1,y1)
(1,-1) )=(x0,y0)

Loanterior es muy largo
pues lo único que me
interesa saber es la “m”.
Para calcularla hay una
manera muy fácil:

y1 - y 0
2 - (- 1) 3
m=
=
=
x1 - x0
3- 1
2

De esta manera f’(3)=3/2

y1 - y 0
m=
x1 - x0
O LO QUE ES LO MISMO:

f ( x1 ) - f ( x0 )
m=
x1 - x0

APLICACIÓN: Demanda
Considere una fábrica que produce una cierta cantidad de artículos y los
vende semanalmente.
Suponga que la cantidad deartículos vendidos es “q” a un precio “p” y la
relación entre ellos es dada por la siguiente función:

q 2  2q p  p 2  31  0
Donde:
q : Medido en miles
p : Medido en pesos $.
Si en algún momento el precio de un artículo es de 9$ y se incrementa a
una tasa de 0,20$ por semana. Se desea calcular.
A) El número de artículos vendidos a 9 dólares.
B) ¿Con qué rapidez cambia la cantidad q , de unidadesvendidas
por semana cuando el precio es de 9?

DESARROLLO:
A) Como se tiene el precio definido entonces lo reemplazamos en la ecuación que
relaciona a p y q, generando lo siguiente:

q  2q 9  (9)  31  0
2

2

Ahora desarrollando se encuentra:

EC.
CUADRATICA

q  6q  81  31  0  q  6q  112  0
2

2

Lo cual arroja que la cantidad a determinar sea producto de la solución de
una ecuacióncuadrática. Como ya sabemos, este tipo de ecuaciones posee 2
soluciones, de ellas, elegimos la que se ajusta a lo real, por lo tanto, aplicando
la formula que determina aquellas soluciones se obtiene el siguiente
desarrollo:

ECUACION A SOLUCIONAR

q 2  6q  112  0

SOLUCION

b  b 2  4  a  c
q
, a  1, b  -6, c  -112
2a

REEMPLAZANDO EN LA
SOLUCION

(6)  (6) 2  4 1 (112)
q
2SE GENERAN LAS
2 SOLUCIONES UNA CON
+ Y OTRA CON -

6  484
SOLUCION
q
APLICABLE A LA
2
REALIDAD
6  484
NO ES POSIBLE
q1 
 14
VENDER UNA
2
CANTIDAD NEGATIVA
DE PRODUCTOS
6  484
q2 
 8
2

OK¡¡¡

Entonces ahora se sabe que a un precio de $9 , se venderán 14 mil unidades.
Ya que se había dicho que la cantidad se mide en unidades de mil.

b) En este caso es necesario explicar lo siguiente:Primero: La relación entre p y q es una función implícita, es decir, p nunca se puede despejar
en función de q, o viceversa.
Segundo: Como es una relación implícita , la única forma de despejar una variable es
asignando un valor a la otra variable.
Tercero: p y q dependen del tiempo, por ello en realidad deberían escribirse como dos
funciones , p(t) y q(t).
Cuarto: Al derivar la relación entre p y...