Definicion de los numeros complejos

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMO TEMAPACHE

“Numero complejo”
Matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

INTRODUCCION:
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario.
Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente enla electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuaciónalgebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de losnúmeros, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos
DESARROLLO:
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
* Suma

* Producto porescalar

* Multiplicación

* Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
* Resta

* División

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .Cuerpo de los números complejos
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter Unicode ℂ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, porejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
Unidad imaginaria
Tomando en cuenta que, se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

Valor absoluto o módulo de un número complejo
El  valor absoluto, módulo o magnitud de unnúmero complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la  distancia euclidea  desde el origen del plano a dicho punto.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Sepuede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida  formula de Euler.
Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

Para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d (z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puedehablar de limites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Geometría y operaciones con complejos
Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z1 =a1 + ib1 y z2 = a2...