Definicion de valor



1. Definición de valor y vector propio.

Vectores propios: Los  de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.
También son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian sudirección. Este escalar  recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio  es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
Valor propio: El valor propio de unvector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

2. ¿Cómo se calculan los valores y vectores propios?

A es cualquier matriz cuadrada tamaño n x n
Si λ es un valor propio de A, entonces: det(A-λI)=0 (I es la matriz identidad tamaño n x n)
Si v es un vector propio de A asociado a λ, entonces det(A-λI) v=0.



3.

Polinomio Característico: Se asocia un polinomio acada matriz cuadrada llamado polinomio característico. Dicho polinomio contiene una gran cantidad de información sobre la matriz, los más significativos son los valores propios, su determinante y su traza.

Ecuación Característica: Para encontrar las raíces de ecuaciones de la forma general:

Donde n es el orden del polinomio, y los a i son los coeficientes constantes, se seguiránlos pasos que más adelante se plantean. Las raíces de tales polinomios tienen las siguientes reglas:
 – Para la ecuación de orden n, hay n raíces reales o complejas, no necesariamente distintas. 
– Si n es impar, hay al menos una raíz real. 
– Si existen raíces complejas, existe un par conjugado, esto es, a + b i y a – b i, donde:


Multiplicidad algebraica: La multiplicidad algebraica de un valorpropio λ de A es el orden de λ como cero del polinomio característico de A; en otras palabras, si λ es una de las raíces del polinomio, es el número de factores (t − λ) en el polinomio característico tras la factorización. Una matriz n×n tiene n valores propios, contados de acuerdo con su multiplicidad algebraica, ya que su polinomio característico tiene grado n.


4. Para una matriz 3x3;calcular sus vectores y valores propios.

















5.



6. Propiedades de los valores propios

Multiplicidad algebraica
La multiplicidad algebraica de un valor propio λ de A es el orden de λ como cero del polinomio característico de A; en otras palabras, si λ es una de las raíces del polinomio, es el número de factores (t − λ) en el polinomio característicotras la factorización. Una matriz n×n tiene n valores propios, contados de acuerdo con su multiplicidad algebraica, ya que su polinomio característico tiene grado n.
Un valor propio de multiplicidad algebraica 1 recibe el nombre de "valor propio simple".
Por ejemplo, se pueden encontrar exposiciones como la siguiente en artículos de teoría de matrices:
"los valores propios de una matriz A son4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1,"lo que significa que la multiplicidad algebraica de 4 es dos, la de 3 es tres, la de 2 es dos y la de 1 es uno. Se emplea este estilo porque la multiplicidad algebraica es la clave de muchas demostraciones matemáticas en teoría de matrices.
Anteriormente se ha definido la multiplicidad geométrica de un valor propio como la dimensión del espacio propio asociado, o el núcleo(espacio propio de los vectores propios del valor propio nulo) de λI - A. La multiplicidad algebraica también puede entenderse como una dimensión: es la dimensión del espacio propio generalizado (1er sentido) asociado, que es el núcleo de la matriz (λI - A) k para k suficientemente grande. Es decir, es el espacio de los vectores propios generalizados (1er sentido), donde un vector propio...