Definiciones matematicas

Números primos y compuestos

DEFINICIÓN 1: Se dice que a y b son primos relativos en el caso de que ( a, b ) = 1.
El hecho de que ( a, b ) = 1 en ocasiones se expresa diciendo que a y b son coprimos.

DEFINICIÓN 2: Se dice que un entero p ( 1 es un número primo, o simplemente que es un primo, en caso de que no exista divisor d de p que satisfaga 1 ( d ( p. Si un entero a ( 1 no es unprimo, entonces se dice que es un número compuesto.

TEOREMA 1: Todo entero n mayor que 1 puede expresarse como un producto de primos (con, tal vez, solamente un factor).
De lo anterior, tenemos que n puede escribirse en la forma
n = P1(1 ( P2(2 ( Pr(r
en donde P1, P2, ( , Pr son números primos distintos y (1, (2, (3, ... , (r son números positivos enteros.

TEOREMA 2: Si p ( ab,siendo p primo, entonces p ( a o bien p ( b. Más generalmente, si p ( a1 a2 a3 ... an , entonces p divide por lo menos a un factor del producto.

TEOREMA 3: ( Teorema fundamental de la Aritmética )
La factorización de cualquier entero positivo n en primos es única independientemente del orden de los primos.

TEOREMA 4: El número de primos es infinito.

TEOREMA 5: Existenarbitrariamente grandes vacíos en la serie de los primos. Dicho de otro manera, dado cualquier entero positivo k, existen k enteros compuestos consecutivos.

TEOREMA 6: Si n = P1(1 ( P2(2 ( Pr(r en donde P1, P2, ( , Pr son números primos distintos y (1, (2, (3, ... , (r son números positivos enteros, entonces
( a ) el número de divisores positivos de n está dado por
( (1 + 1 ) ( (2 + 1 ) ( (3 + 1 ) ( ( (r– 1 + 1 ) ( (r + 1 )
( b ) la suma de los divisores positivos de n está dada por

( c ) el número de primos relativos al número n, menores que él pero mayores que cero, está dado por
n( 1 – 1 / P1 ) ( 1 – 1 / P2 ) ( ( 1 – 1 / Pr – 1 ) ( 1 – 1 / Pr )

Ejemplo 1: ¿ Cuántos divisores positivos tiene 20 ! ?
( México )
Solución: 20! = 218 ( 38 ( 54 ( 72 ( 11 ( 13 ( 17 (19 y de aquí que 20!tiene exactamente 19 ( 9 ( 5 ( 3 ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 = 41 040 divisores positivos.

Ejemplo 2: Considérese el conjunto S de los números naturales que son el producto de los dígitos de algún otro número natural. Por ejemplo 24 ( S porque es el producto de los dígitos de 38 ( o bien 83, 64, 46 ) y 19 ( S.
( a ) Demuestre que 1995 ( S.
( b ) Demuestre que 2016 ( S.
( c ) ¿ Cuál es elmenor entero positivo que genera a 2016 ?
( d ) ¿ Cuál es el menor entero positivo de seis dígitos que genera a 2016 ?
( México )
Solución:
( a ) 1995 = 3 ( 5 ( 7 ( 19
Al ser 19 factor primo de 1995 se concluye que 1995 ( S, nótese que si a ( S, a no debe tener factores primos de dos o más dígitos.
( b ) 2016 = 25 ( 32 (7
Para demostrar que 2016 ( S basta hallar un número cuyoproducto de sus dígitos sea 2016, en particular, tenemos los siguientes: 8497, 9847, 7489, etc.
( c ) Por inspección determinamos a 4789.
( d ) Por inspección determinamos a 114789

Ejemplo 3: Pruebe que todo número primo mayor que 3 es igual a un múltiplo de 6 aumentado o disminuido en una unidad. (España).
Solución: Sea N el número primo tal que N ( 3.
Por el algoritmo de la división, aldividir N por 6, existen enteros únicos q y r tales que N = 6q + r con 0 ( r ( 6.
Los posibles valores que puede tomar r son 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Para r = 0, N = 6q lo que contradice que N es primo.
Para r = 1, N = 6q + 1, que cumple con el resultado.
Para r = 2, N = 6q + 2 = 2 ( 3q + 1 ) lo que contradice que N sea primo.
Para r = 3, N = 6q + 3 = 3 ( 2q + 1 ) lo quecontradice que N sea primo.
Para r = 4, N = 6q + 4 = 2 ( 3q + 2 ) lo que contradice que N sea primo.
Para r = 5, N = 6q + 5 = 6q + 6 – 1 = 6 ( q + 1 ) – 1, que corresponde a un múltiplo de 6 disminuido en una unidad.

Ejemplo 4: Sea n = 2p – 1(2p – 1 ), y sea 2p – 1 un número primo. Pruebe que la suma de todos los divisores de n ( excepto n ) es exactamente n.
( Hungría )
Solución: Sea...