Deivadas parciales

EJEMPLO 2
El plano y=2 interseca al elipsoide 4x2+2y2+z2=16 formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse en el punto (1,2,2).

Como la ecuación dela recta tg a una curva es:

z-z0=∂z∂xx0,y0(x-x0) ^ y=2

la ecuación 4x2+2y2+z2=16 define a “z” implícitamente como una función de “x” e“y” entonces:
8x+2z∂z∂x=0
Despejando:
∂z∂x=-4xz
∂z∂x=-4(1)2
m=-2
La ecuación será:
z-2=-2x-1 ^ y =2
x-1=z-2-2 ^ y=2
z=-2x+4
x=1

x=ty=2z=4-2t

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Ejemplo 2
Una barra de metalde un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma tal que a metros de su extremo izquierdo y en el instante minutos, su temperatura en grados centígrados esta dada por
con
1.Trace la gráfica de para y

2. Calcule y ¿Cuál es la interpretación práctica (en términos de temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qué cada una tiene el signo que tiene.3. Calcule ¿Cuál es su signo?. ¿Cuál es su interpretación en términos de temperatura?
Solución
1. La gráfica de las funciones y se muestran en la figura 2.

Figura 6
Observe que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de la barra y la temperatura después de un minuto. Note que el punto más caliente de la barra en cualquier instante está a 0.5 metros del extremoizquierdo (! !).

2. La derivada parcial respecto a esta dada por y al evaluar obtenemos que

como esta derivada parcial es decreciente conforme crece y positiva para cualquier valor de concluimosque la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a son positivas y van siendo más pequeñas conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo izquierdo. Elsigno positivo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura aumenta.

Por otro lado,

observe que en este...