Demostración porque la tir es única

La TIR es única en sólo dos casos:

1) Cuando todos los flujos positivos (negativos) se hacen primero y después todos los negativos (positivos)
⇒ i es única

Demostración

Sea
VPN(i) =P(i) = j=0nѴjRj

Se dice que i* es la TIR si
VPN (i*) = P(i*)=0

Entonces VPN es un polinomio de grado n
VPN(i)= R0+R1Ѵ+R2Ѵ2+…+Rn-1Ѵn-1+RnѴn
VPN(i) = 0 ⇔ Ѵ * es raíz
Solo nosinteresan las raíces positivas
VPN(i)= R0+R1Ѵ+R2Ѵ2+…-RkѴk-Rn-1Ѵn-1-RnѴn
ó
VPN(i)= -R0-R1Ѵ-R2Ѵ2-…+ RkѴk+…+Rn-1Ѵn-1+RnѴn
Solo presentan un cambio de signo, según la Regla de los signos deDescartes* Sólo tienen una raíz positiva
⇒ i es única
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Regla de los signos de Descartes*
EL NUMERO DE RAÍCES POSITIVAS de la ecuación polinomial f(x)=0 concoeficientes reales es igual al número de VARIACIONES en el signo de f(x) o éste número disminuido en un entero par

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _

2) Sea Bt el balance en elfondo del tiempo t (B0=C0)
Bt >0 ∀ t Є {0, 1, 2, … , n-1) i > -1
⇒ i es única

Demostración

Tenemos
B0=C0
B1=B0(1+i)+C1
B2=B1(1+i)+C2
B3=B2 (1+i)+C3
…
Bn=Bn-1(1+i)+Cn

Engeneral
Bn=Bn-1(1+i)+Cn
sustituimos Bn-1
Bn=[Bn-2(1+i) + Cn-1](1+i) + Cn
Bn=Bn-2(1+i)2+Cn-1(1+i) + Cn
sustituimos Bn-2
Bn=[ Bn-3(1+i)+Cn-2](1+i)2+Cn-1(1+i) + CnBn=Bn-3(1+i)3+Cn-2(1+i)2+Cn-1(1+i) + Cn
así sucesivamente
Bn=B1(1+i)n-1+ C2(1+i)n-2 + … +Cn-2(1+i)2+Cn-1(1+i) + Cn
sustituimos B1
Bn=[B0(1+i)+C1](1+i)n-1+ C2(1+i)n-2 + … +Cn-2(1+i)2+Cn-1(1+i)+ Cn

Si Bt=CtB0(1+i)n+B1(1+i)n-1+ B2(1+i)n-2 + … +Bn-2(1+i)2+Bn-1(1+i)

Scomuponemos que el polinomio anterior tiene dos raíces positivas distintas
(1+i)=r1 y (1+i)=r2
r1 ≠ r2

Si son raíces alevaluarlas son iguales a cero.
B0r1n+B1r1n-1+…+Bn-2r12+Bn-1r1= 0 … (1)
B0r2n+B1r2n-1+…+Bn-2r22+Bn-1r2= 0 … (2)

Si dividimos (1) entre r1 y (2) entre r2 e igualamos
B0r1n-1+B1r1n-2+…+Bn-2r1=...