Demostracion Raíz De Dos Irracional

Una prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos mediante la prueba de descenso infinito. Es posible hacerlo mediante Reducción al absurdo, en el que se intentademostrar la proposición opuesta, es decir: La raíz cuadrada de 2 es un número racional, llegando a mostrar que la asunción es falsa.
1. Se asume que: [pic]es unnúmero racional, con ello se sabe que existen dos números enteros a y b tal que se satisfaga que la fracción a / b = [pic].
2. Entonces [pic]puede ser escrito como unafracción irreducible (la fracción es reducida tanto como sea posible) a / b tal que a y b son números primos entre sí y (a / b)² = 2.
3. Se sigue que a² / b² = 2 y a² = 2b².
4. Por lo tanto a² es par debido a que es igual a 2 b² lo cual es obvio.
5. Se sigue que a debe ser número par. (Los números impares tienen raíces impares ylos pares tienen raíces pares.)
6. Debido a que a es par, entonces existe un número entero k tal que satisface: a = 2k.
7. Insertamos la última ecuación de (3) en(6): 2b² = (2k)² es equivalente a 2b² = 4k² es equivalente a b² = 2k².
8. Debido a que 2k² es par se deduce que b² es también par lo que significa que b es par porquesólo los números pares tienen raíces cuadradas pares.
9. Como (5) y (8) a y b son ambos pares, lo que contradice que a / b es irreducible tal y como se afirmó en (2).como se ha encontrado una contradicción en al asumir en (1) que [pic]es un número racional, se deduce que esta afirmación es falsa. Se demuestra entonces lo contrario:[pic]es irracional.
Esta prueba puede ser generalizada para mostrar como cualquier raíz de cualquier número natural es o bien un número natural o un número irracional.