Derecho

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Cálculo de límites
Polinomios
Ver página sobre límites de polinomios por detalles.
limx->a P(x) = P(a)
Ejemplo: limx->2 x2 - 3x + 4 = 2
limx->inf P(x) = limx->inf anxn
Ejemplo: limx->+inf -3x3 + x2 - 2x + 1 = limx->+inf -3x3 = -inf
A(x) | A(α)
lim ---- = | 1) ---- si B(α)≠0
x->α B(x) | B(α)| 2) inf si B(α)=0 y A(α)≠0
| 3) INDETERMINADO de la forma 0/0
| si B(α)=0 y A(α)=0
Ejemplos:
x2 - 1 3
1) lim ------- = --
x->2 3x - 4 2

x2 - 1 3
2) lim -------- = -- = +inf
x->2 x - 2 0

-2x2 + 5x - 2 0
3) lim -------------- = -- INDETERMINADO
x->2 3x2 - 2x - 8 0
Para resolverlo, expresamoscada polinomio como un producto y simplificamos los factores comunes. Para ello, bajamos cada polinomio por Ruffini.
|  |-2 |5 |-2 |
|2 |  |-4 |2 |
|  |-2 |1 |0 |

-2x2 + 5x - 2 = (x - 2)(-2x + 1)
|  |3 |-2 |8 |
|2 |  |6 |8 |
|  |3 |4 |0 |

x2 - 2x - 8 = (x - 2)(3x + 4)

-2x2 + 5x - 2 (x - 2)(-2x + 1) -3
lim --------------= lim ---------------- = ---
x->2 3x2 - 2x - 8 x->2 (x - 2)(3x + 4) 10
A(x) anxn
lim ---- = lim ----
x->inf B(x) x->inf bmxm
Ejemplo:
3x3 + 2x2 - 5 3x3 3
lim -------------- = lim ----- = --
x->+inf 2x3 - 8x2 x->+inf 2x3 2
Raíces de polinomios
Si el límite da indeterminado, aplicar el siguiente truco:
________ P(x) - Q(x)
lim \|P(x) - \|Q(x) = lim ----------------
____ ____
\|P(x) + \|Q(x))
Se llama expresión conjugada de
__ __ __ __
\|a - \|b a \|a + \|b
Multiplicando y dividiendo por la conjugada, obtenemos la diferencia de las cantidades subradicales.____ ____
____ ____ ____ ____ (\|P(x) + \|Q(x))
lim \|P(x) - \|Q(x) = lim \|P(x) - \|Q(x) ----------------- =
____ ____
(\|P(x) + \|Q(x))
P(x) - Q(x)
lim ----------------
____ ____
\|P(x) + \|Q(x))
Ejemplo:
(IND.inf - inf)
___________ __________ |
lim \|x2 + 2x - 3 - \|x2 + x - 1 =
x->-inf
__________ __________
___________ __________ (\|x2 + 2x - 3 + \|x2 + x - 1)
lim \|x2 + 2x - 3 - \|x2 + x - 1 ---------------------------- =
x->-inf __________ __________
(\|x2+ 2x - 3 + \|x2 + x - 1)

x2 + 2x - 3 - (x2 + x - 1) x - 2
lim ----------------------------- = lim ---------------------- =
x->-inf __________ __________ __________ __________
\|x2 + 2x - 3 + \|x2 + x - 1 \|x2 + 2x - 3 + \|x2 + x - 1

x x x -1
lim ----------- = lim ------- = lim--- = --
x->-inf __ __ x->-inf -x - x x->-inf -2x 2
\|x2 + \|x2

Raíz cúbica
3 ____ 3 ____
lim \|P(x) - \|Q(x) =

3 ____ 3 ____ 3 _______
3 ____ 3 ____ ( \|P(x)2 + \|Q(x)2 + \|P(x)Q(x) )
lim \|P(x) - \|Q(x) -------------------------------- =
3 ____ 3 ____ 3 _______( \|P(x)2 + \|Q(x)2 + \|P(x)Q(x) )

P(x) - Q(x)
lim ------------------------------
3 ____ 3 ____ 3 _______
\|P(x)2 + \|Q(x)2 + \|P(x)Q(x)

Ejemplo:
(IND. inf - inf)
3 ____________ 3 ___________ |
lim 2 + \|x3 - 3x2 + 1 - \|x3 - 4x + 1 =
x->-inf

x3 - 3x2 + 1 - x3 + 4x - 1
2 + lim...
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