derivación exponencial

3.9 Distribución exponencial
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VII. 2. Distribución Exponencial
La variable aleatoria exponencial, es el tiempo que transcurre hasta que se da el primer evento dePoisson. Es decir, la distribución exponencial puede modelar el lapso entre dos eventos consecutivos de Poisson que ocurren de manera independiente y a una frecuencia constante. Esta distribución se empleacon bastante frecuencia con objeto de modelar problemas del tipo "tiempo - falla" y como modelo para el estudio de intervalos en problemas de espera; por ejemplo, la duración de componenteselectrónicos. Posteriormente se demostrará que la distribución exponencial no tiene memoria, es decir, la probabilidad de ocurrencia de eventos presentes o futuros no depende de los que hayan ocurrido en elpasado. De esta forma, la probabilidad de que una unidad falle en un lapso específico depende nada más de la duración de éste y no del tiempo en que la unidad ha estado en operación.
VII. 2. 1.Función de Densidad
Definición. Si una variable aleatoria X tiene una distribución exponencial, su función de densidad de probabilidades esta dada por:

Esta distribución se caracteriza por un parámetro, que representa el lapso promedio de tiempo entre dos eventos independientes de Poisson. En el contexto de la Teoría de la Confiabilidad,  recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas, y 1/ esla frecuencia de falla. En ocasiones la distribución exponencial se define en términos del parámetro = 1/ .
Supongamos que un componente tiene la propiedad de que el tiempo transcurrido deoperación no afecta la posibilidad del componente de funcionar al menos b unidades adicionales de tiempo. Es decir, la probabilidad de que el componente funcione durante más de a + b unidades de tiempo, dadoque ya operó durante por lo menos a unidades de tiempo, es igual a la probabilidad de que un componente nuevo funcione durante por lo menos b unidades de tiempo, si se pone en servicio el...