Guia para derivacion implicita, tambien exponenciales y logaritmicas

Guía de estudio individual No. 1
El genio es un 1 % de inspiración, y un 99 % de transpiración. Thomas Alva Edison

Tema. Derivación implícita. Introducción En las funciones estudiadas hasta el momento usualmente se expresa una de las variables en términos de la otra, escribiendo y  f ( x ) , por ejemplo: y = sen 2x, y = 3x − 1, y = e 2x . En estos casos se dice que y es una función explícitade x, pero en otras expresiones tales como 2xy = 5 se indica de manera implícita, una relación de 5 dependencia ya que es inmediato escribir y  para x ≠ 0. 2x En casos adicionales se presentan relaciones más complicadas entre las variables que dificultan la expresión explícita de una variable en función de otras, por ejemplo: x 4  2 y 3  4 y  7 . El procedimiento para derivar expresiones comola anterior se conoce como Derivación Implícita, que en algunos textos se denomina Diferenciación Implícita, en el cual se supone que y es una función diferenciable de que depende de x. Para facilitar el aprendizaje de dicho proceso es importante tener presente que la derivación se realiza respecto a la variable que se asume como independiente, generalmente denotada por x. Asi, al derivarexpresiones que incluyan la y deberá aplicarse la regla de la cadena para involucrar a y . Actividades para el aprendizaje 1. Consultar el libro de texto o cualquier otro libro de cálculo que se tenga disponible y leer la sección correspondiente al tema, analizando la secuencia seguida en los ejercicios resueltos. Escribir de forma ordenada los pasos identificados en el proceso. 2. Observar en Internetel video disponible en el sitio http://173.201.36.135/videos/derivacion-implicita-y-como-hallar-la-ecuacion-de-la-rectatangente-bytid-OGxIRLjhcqo.html 3. Estudiar los ejemplos desarrollados en el material de apoyo adjunto. 4. Resolver los ejercicios propuestos y consultar en caso de duda. 5. Buscar en diferentes fuentes al menos cinco ejercicios adicionales y resolverlos. ¡Aprender es un derecho yuna responsabilidad!
1

Ejercicios resueltos Determinar y  =
dy en cada una de las expresiones dadas. dx

1.

x3y2

= 2x2 + y2 En el lado izquierdo se deriva un producto y en el derecho, una suma. Agrupando términos semejantes para y  Factorizando

3x2 y 2 + x 3 (2y) y  = 4 x + 2y y  3x2 y 2 − 4 x 3x2 y 2 − 4 x = 2y y  − = y  ( 2y − = y 2x 3 y y  2x 3 y )

3x 2 y 2  4x 2 y 2x 3y

2.

( x 2 + y 2) 6 = x 3 − y 3 6 ( x2 + y 2) 5 ( 2 x + 2y y  ) 12x ( x2 + y 2) 5 = 3x 2 − 3 y 2 y y

+ 12y y  ( x2 + y 2) 5 = 3x 2 − 3 y 2 y =

12y y  ( x2 + y 2) 5 + 3 y 2

3x 2 − 12x ( x2 + y 2) 5 3x 2 cos 2 x − 12x ( x2 + y 2) 5

y  [ 12y ( x2 + y 2) 5 + 3 y 2 ] = y =

3 x 2  12 x x 2  y 2 5 12 y x 2  y 2 5  3 y 2









3.

sen y = y cos 2x cos y y  = y  cos 2 x + y (− sen 2x )(2)

y  (cos y − cos 2 x ) = − 2 y sen 2x y =
 2 y sen 2 x cos y  cos 2 x

2

4.

2 sec y (sec y tan y) y  − csc 2( x − y) ( 1 − y  ) = 2 tan x sec 2x

2 sec y (sec y tan y) y  − csc 2( x − y) + csc 2( x − y) y  = 2 tan x sec 2x y  [ 2 sec 2 y tan y + csc 2( x − y) ] = 2 tan x sec 2x + csc 2( x − y) y = Ejercicios de tarea Determinar y =
dy en las siguientes expresiones. dx

2 tan x sec 2 x  csc ( x  y ) 2 sec 2 y tan y  csc 2 ( x  y )

1) 2) 3) 4)

y 2  3x  x 1  y  x csc (x − y) + sec ( x + y ) = x y  2  x2 x y
x4 + y4 = cos(x2 + y2) ey
+ 1

5)

+ x sen 2 y =

y 2  sec x x 8

Guía de estudio individual No. 2

En cuestiones de ciencia, la autoridad de mil no vale lo que el humilde razonamientode un solo individuo. Galileo Galilei
Tema. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Derivación logarítmica. Introducción Es conveniente recordar que la función exponencial y la función logarítmica son continuas en su dominio de definición y que una es la inversa de la otra; en consecuencia, es posible transformar una expresión exponencial en una logarítmica y viceversa. Además, en...