Derivada de una Función

Derivada de una Función
Índice.
1. Introducción.
2. Pendiente de una recta tangente.
3. Derivada de una función.
4. Derivadas laterales.
5. Derivada de una función compuesta (Regla de la Cadena).
6. Tabla de derivadas usuales.
7. Derivada de la función inversa.
8. Derivada implícita.
9. Curva lisa.
10. Curva cerrada.
11. Curva simple.
12. Derivadas paramétricas.
13. Derivadas deorden superior.
14. Bibliografía.
1. Introducción.
Una de las ideas básicas en Cálculo Matemático es el concepto de Derivada. Para
introducir dicho concepto se recurre generalmente a dos problemas: uno Físico, para
calcular la velocidad instantánea de un móvil, y otro Geométrico, para determinar la
pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. Los dos problemasconducen al mismo cálculo: el límite de un cociente de incrementos cuando el denominador
tiende a cero. Puesto que, muchos problemas importantes dependen de la determinación de
la recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico, a continuación se
introduce el concepto analítico de la pendiente de recta tangente a una función en un punto y
luego el concepto de derivada.
2.Pendiente de una Recta Tangente.
Sea f una función que es continua en x1. Para definir la pendiente de la recta tangente

a la gráfica de f en el punto P ( x1 ; f ( x1 ) ) , consideremos un intervalo abierto I que contiene
a x1. Sea Q ( x2 ; f ( x2 ) ) otro punto sobre la gráfica de f tal que x2 esté contenido en I. La
recta que pase por los puntos P y Q se denomina recta secante.
Figura 1
yT

y = f (x)

Q(x ; f (x ))
2

2


P(x ; f (x ))
1

1

∆y = f (x ) - f (x )
2



1

∆x = x - x
2

1

x




x

x

2

1

1

2

Lic. Eleazar J. García
Observe que ∆x es el cambio del valor x de x1 a x2 , llamado incremento de x, y

∆y es el cambio del valor de y = f ( x ) de f ( x1 ) a f ( x2 ) , llamado incremento de y.
La pendiente de la rectaque pasa por los puntos P y Q de la curva de la figura 3.1,
está determinada por:
f ( x2 ) − f ( x1 )
mPQ =
∆x
Como x2 = x1 + ∆x, la pendiente puede escribirse así:

f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 )
∆x
Consideremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el punto Q se mueve a lo
largo de la curva hacia P. Esto es igual a decir que ∆x tiende a cero. Si esto sucede la recta
secante gira sobre elpunto P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en el punto P,
por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en dicho punto puede ser calculada mediante la
siguiente ecuación:
f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 )
m ( x1 ) = lím
(A)
∆x → 0
∆x
mPQ =

“La notación m ( x1 ) nos indica que la pendiente que calculemos con la ecuación (A) es la de
la recta tangente a la gráfica de la funcióny = f ( x ) en el punto ( x1 , f ( x1 ) ) ”.

Ejercicios resueltos 1.
1.1) Calcule la pendiente de la recta tangente a la parábola f ( x ) = 3 x 2 + 4 en el punto ( 3;1) .
Solución:
Es evidente que x1 = 3, por lo tanto, aplicando la ecuación (A) tenemos:

f ( 3 + ∆x ) − f ( 3)

m ( 3) = lím

∆x

∆x → 0

(

27 + 18∆x + 3 ( ∆x ) − 27
2

= lím

∆x

∆x → 0

)

2
3 ( 3 +∆x )2 + 4  − 31
3 9 + 6∆x + ( ∆x ) − 27


= lím
= lím
∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x

= lím

18∆x + 3 ( ∆x )

∆x → 0

∆x

2

= lím (18 + 3∆x ) =18
∆x → 0

Luego, la pendiente exigida es: m = 18.

1.2)

Determine la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x ) = sen x en el punto

( 1 π ,1) .
2
Solución:
Apliquemos la ecuación (A), con x1 = 1 π :
2
m ( 1 π ) = lím
2∆x → 0

sen ( 1 π + ∆x ) − sen ( 1 π )
2
2

∆x

Derivada de Funciones

= lím

sen ( 1 π ) cos ( ∆x ) + sen ( ∆x ) cos ( 1 π ) − sen ( 1 π )
2
2
2
∆x

∆x → 0

sen ( 1 π ) ( cos ( ∆x ) − 1) + sen ( ∆x ) cos ( 1 π )
2
2

= lím

∆x

∆x → 0

= lím

sen ( 1 π ) ( cos ( ∆x ) − 1)
2
∆x

∆x → 0

= −sen ( 1 π ) lím
2

+ lím

sen ( ∆x ) cos ( 1 π )
2

∆x...