Derivada Direccional Y Gradiente

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE

DERIVADA DIRECCIONAL DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Sea f (x, y) una función de dos variables y u = (cos θ, sen θ), 0 ≤ θ < 2π, un vector unitario. Se llamaderivada direccional de f en (a, b) en la dirección de u al siguiente lımite (si existe):

Cuando la función es diferenciable en el punto, la derivada direccional se puede expresar en función de lasderivadas parciales:

GRADIENTE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Se llama gradiente de la función diferenciable f al vector cuyas componentes son las derivadas parciales:
▼f (x, y) = (f(x, y) i, f(x,y) j)

Usando el gradiente, la derivada direccional se puede expresar mediante el producto escalar:
Duf (a, b) = ▼f (a, b) · u

PROPIEDADES DEL GRADIENTE DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES

• Si▼f(a, b) = 0, entonces Duf (a, b) = 0 para todo u.
• La derivada direccional en (a, b) es máxima en la dirección del vector gradiente ▼f (a, b) (dirección de máximo incremento de f), siendo k▼f(a, b)ksu valor máximo.
• La derivada direccional en (a, b) es mínima en la dirección del vector −▼f (a, b) (dirección de mínimo incremento de f), siendo − k▼f (a, b)k su valor mínimo.
• La derivadadireccional en (a, b) es nula en cualquier dirección perpendicular al vector gradiente.

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE DE UNA FUNCION DE TRES VARIABLES

Sea f una función de x, y, z con primerasderivadas parciales continuas. La derivada direccional de f en la dirección de un vector unitario
U= (cos a)i +(cos b)j + (cos c)K está dada por:

Duf (x, y, z) = fx(x, y, z) cos a + fy(x, y, z) cos b+ fz(x, y, z) cos c

El gradiente de f se define como:

▼f(x, y, z) = fx(x, y, z)i, fy(x, y, z)j, fz(x, y, z)k

DONDE APLICAR LA GRADIENTE
El gradiente posee innumerables aplicaciones enfísica, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.
* Uno de ellos...