derivada implicita

TECSUP - PFR

Matemática I

UNIDAD XV

DERIVADA IMPLÍCITA

Previamente revisemos algunas definiciones del tema de funciones.
1.

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
Explícitas:

cuando se conocen la serie de operaciones que debe efectuarse
con la variable independiente para hallar el valor de la función

Implícitas:

cuando no se conocen estas operaciones.

Así en la expresión:

ax  by  k

y por elcontrario, en la expresión:

 y es una función implícita de x,

y 

explícita de x.
Ejercicios:

k  ax
b



y

es una función

Identificar el tipo de función de las siguientes expresiones,

a) y  x 3  2x 2  1

: ...............................................................

b) y 2  8ln x  2x

: ...............................................................

c) x 2  y 2  4  0

:...............................................................

d) y  1  x 2

: ...............................................................

e) x 2 y 2  2 arcsen(xy )  3  0 : ...............................................................

181

Matemática I

2.

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NOTACIÓN DE LAS FUNCIONES
La notación o manera de representar la función explícita y de la variable x es:
y  f ( x) , y de las variables x, z, u, ...., es: y  f ( x , z ,u ,...)
El símbolo f (x ), el cual se lee f de x, denota la salida numérica que la
función f asigna a la entrada numérica x en el dominio de f.
Ejemplo:

El área de un círculo en el que r es la medida de su radio, se
puede representar:

A  r 2



A  A (r )

El volumen V de un cilindro de revolución en el que a es la
medida de su altura yr la del radio del círculo de su base:

V   r 2a

 V  V (r , a )

Para las funciones implícitas se denota: F (x , y )  0
Ejemplo:

La circunferencia x 2  y 2  4  0 expresa a y como función
implícita de x; luego se puede representar:

F (x , y )  x 2  y 2  4  0
3.

DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Notemos que una ecuación F (x , y )  0 puede definir implícitamente a y como
función de x, lo quequeremos es derivar tal función, para esto observemos los
siguientes ejemplos:
1.

g ( x )  sen(f (x ))



g '(x )  cos(f (x ))  f '( x ) .

2.

g (x )  (f ( x ))5



g '(x ) 

3.

g ( x )  ef ( x )

4.

g (x )  x 2  cos(f ( x ))





g '(x ) 

g '(x ) 

182

TECSUP - PFR

Matemática I

Derivemos las siguientes funciones, considerando que: y  f ( x ) .

5.

g (x )  y 4  x 2



g'(x ) 

6.

g (x )  arctan(y )



g '(x ) 

7.

g (x )  xy 3  sen(y )



g '(x ) 

8.

g (x )  (x 3  5x )  ln(y )



g '(x ) 

Derivar las siguientes expresiones, considerando a: y  f ( x ) .

9.

x 2  3xy 2  4  0 .

10.

x 3y  xy  cos(y 3 ) .

Ejemplo:

Encontrar la recta tangente a la gráfica de la ecuación
y 2  2x  1 en el punto P (4;3) .

Solución:

Observemos que laecuación y 2  2x  1 expresa a y como
función de x en forma implícita, tanto así que podemos
encontrar hasta dos funciones implícitas, veamos:

183

Matemática I

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2

y  2x  1



 y  1  2x



y   1  2x

1ra. función
2da. función

En realidad con lo expuesto anteriormente ya no es necesario
hacer éste tipo de despejes para poder encontrar un recta
tangente a la gráfica dedicha función, ya que al buscar la
pendiente de dicha recta sólo necesitamos el valor de la derivada
valuada en P (4;3) .
Luego derivando en forma implícita, tenemos:
2y  y '  2  0

Evaluando en P (4;3) :

2(3)  y ' 2  0

y '  1 / 3

La ecuación de la recta que tiene: pendiente –1/3 y,
pasa por el punto (-4,3), será:

LT : y  3  1 / 3(x  4)
LT : y   x / 3  5 / 3

184

TECSUP - PFRMatemática I

BLOQUE I

1.

y

x2 y2
La elipse

 1 contiene al punto
25
9
12
P (3; ) , busca la ecuación de la
5
tangente a la elipse que pasa por el
punto P.

P

x

y

2.

3.

2

2

La circunferencia x  y  5 contiene al
punto A (-1;2), busca la ecuación de la
tangente a la circunferencia que pasa por el
punto A.

Calcular la ecuación de la tangente a la elipse

P (8;3) .

4.

Calcular la...