Derivadas parciales

Derivadas parciales

En primera instancia haremos un breve repaso del concepto de derivada con una sola variable(tema visto en análisis 1) para luego extender el tema a casos de dos variables.Caso para una sola variable:

Definición: Dada una función y=f(x) y un punto x0 que pertenece al dominio de la función. Se considera un incremento de la variable x( Δx), y se pasa así del puntox0 al punto incrementado x= x0 + Δx.
Al punto incrementado x0 le corresponde un valor de la función que se denomina f(x0) y al punto incrementado le corresponde un valor de la función f(x). De maneraque a un incremento de la variable x, le corresponde un incremento de la función Δy = f(x) – f(xo).
Teniendo estas definiciones es posible establecer el cociente incremental, a saber;

Δ yf(x) – f(x0)
___ = _____________
Δ x x – x0

Y para saber si existe derivada en un punto lo que se debe hacer es calcular el límite a dicho cociente incrementaly si dicho límite existe el mismo recibe el nombre de derivada de la función y=f(x) en el punto x=x0


lim Δ y lim f(x) – f(x0)
Δx ̲0 ___ = x ̲ x0 _____________ = f´( x0)
Δ x x – x0


Entendiendo esto queda claro que la derivada de una función en un puntode su dom es el límite del cociente incremental cuando la variable independiente tiende a cero.

Derivadas parciales: la diferencia que surge del caso anterior es que cuando se trata de lasderivadas parciales se incrementa una sola variable a la vez(ya que son ahora dos variables independientes
z= f( x,y) ).

Consideremos primero la derivada parcial respecto de x:
Dada una funciónz=f(x,y) y un punto po =(x0,y0) que pertenecen al dominio de la función. Se considera el incremento de la variable x ( Δx), pasando ahora del punto p0=(x0,y0) al punto incrementado p=(x0,y0)=( xo+Δx; y)....