Derivadas Parciales

DERIVADAS PARCIALES
1.5 Derivadas Parciales
Sabemos que la derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.
Suponga que dejamos que varíe solamente a x,dejando a y fija, digamos y = b, en donde b es una constante. Entonces, estamos en presencia de una función de una sola variable x, a saber:
g(x) = f(x, b)
Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) De forma análoga podemos hacerlo para y variable y x fija.
DEFINICIÓN:
Sea f una función de dos variables x e y  D  R2 y sea (a, b)  D,entonces la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) es:
fx(a, b) = g’(a) =
 siempre y cuando el límite exista
De forma similar definimos la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b) por
fy(a, b) = g’(b) =
NOTACIÓN:
La siguiente tabla muestra las diferentes notaciones de las derivadas parciales

Derivada parcial de f (o z) con respecto a x
Derivada parcial de f (o z) conrespecto a y
Derivada parcial de f (o z) con respecto a x evaluada en (x0, y0)
Derivada parcial de f (o z) con respecto a y evaluada en (x0, y0)
fx(x, y)
fy(x, y)
fx(x0, y0)
fy(x0, y0)








Observación: los límites de la definición  son en una variable, por lo que podemos calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, etc.Ejemplos: hallar las derivadas parciales
1.
Solución: Suponiendo a y constante
= 3x – 2y Suponiendo a x constante
2.
Solución: Suponiendo a y constante
Suponiendo a x constante

EJERCICIOS
1. Hallar las derivadas parciales si:
a. z = xy – ln xy b. z = yey/x c. z =
d. z = e. z = f. f(x, y, z) = x2 + y2z + z3
2. Si u =x2y + y2z + z2x, demuestre que:
3. Sidetermine ;
4. SI , determine ;
1.6 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Recordemos que la gráfica de z = f(x, y) representa una superficie S. Si f(a, b) = c, entonces el punto P(a, b, c) está sobre la superficie S. El plano vertical y = b interseca a la superficie S en la curva C1 (es decir, C1 es la traza de la superficie S sobre el plano y = b). De manera semejante, el planovertical x = a interseca a la superficie S en la curva C2. Ambas curvas pasan por el punto P.
Observe que la curva C1 es la gráfica de la función g(x, b) de manera que la pendiente de su recta tangente T1 en el punto es g’(a) = fx(a, b). Ver figura 1.1
La curva C2 es la gráfica de la función g(y) = f(a, y) así que la pendiente de su tangente T2 en el punto P es g’(b) = fy(a, b). Ver figura1.2.
Por consiguiente, las derivadas parciales fx(a, b) y fy(a, b) pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas C1 y C2en el punto P, respectivamente.
Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si z = f(x, y), entonces fx representa la razón de cambio de z con respecto a x, cuando y permanece fija. De manerasemejante, fy representa la razón de cambio de z con respecto a y, cuando x permanece fija.
1.7 DERIVADAS DIRECCIONALES.
Se ha visto cómo las derivadas parciales de una función caracterizan la tasa de variación de la función a lo largo de rectas paralelas a los ejes coordenados. A continuación se generalizará la derivada parcial para obtener la tasa de variación de una función con respecto a cualquierdirección. Esto conduce a la noción de derivada direccional.

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de z en el punto (x0, y0) en la dirección de un vector unitario arbitrario = (a, b) (a2 + b2 = 1). Para esto consideramos la superficie S con ecuación z = f(x, y) (la gráfica de f) y sea z0 = f(x0, y0). Entonces el punto P = (x0, y0, z0) está sobre S. El plano vertical que pasa por el...