derivada parciales

Matemáticas
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RESUMEN TEORÍA:

Funciones de varias variables

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I

Teoría: Funciones varias variable

Objetivos
1.

Comprensión del concepto de límite, continuidad y diferenciabilidad de una
función de dos variables.

2.Conocimiento del concepto de derivada parcial de una función de dos
variables y comprensión de su interpretación geométrica.

3.

Destreza en el cálculo de derivadas y diferenciales.

Contenidos
1.

Derivadas direccionales. Derivadas parciales.

2.

Diferencial. Regla de la cadena y derivación implícita.

3.

Gradiente. Plano tangente.

4.

Extremos de funciones de varias variables.Ejemplos de funciones de varias variables

•

Dados dos números cualesquiera x e y, su media aritmética es el número
x +y
. En general si se tienen n
2
x + x 2 + ... + x n
números su media aritmética es: f ( x1, x 2 ,..., xn ) = 1
n

comprendido entre ambos es decir f ( x , y ) =

•

Dados dos números positivos x e y, su media geométrica es el número
comprendido entre ambos esdecir f ( x, y ) = xy . En general si se tienen n
números su media geométrica es: f ( x1, x 2 ,..., x n ) = n x1x 2 ...x n

•

Un sistema de fiabilidad (o bien en circuitos eléctricos) funciona (la corriente
pasa) si hay algún camino activado para ir des el principio (A) hasta el final
(B) del sistema (circuito). Así pues, en una estructura en serie como ésta:

La función de variasvariables que describe el sistema es: f ( x1, x 2 , x 3 , x 4 ) = x1x 2x 3x 4 ,
donde el componente i funciona si x i = 1 y no lo hace si x i = 0 . De este modo, el

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sistema

funciona

si

los

cuatro

componentes

lo

hacen

es

decir,

six1 = x 2 = x 3 = x 4 = 1 . En caso de que alguno de los componentes no funcione x i = 0

la corriente no pasa de A a B.

Un sistema paralelo como por ejemplo:
Se puede describir mediante la función de varias variables:
f ( x1, x 2 , x 3 .x 4 .x 5 ) = 1 − ( 1 − x1 )( 1 − x 2 )( 1 − x 3 )( 1 − x 4 )

•

Un sistema estéreo hi-fi tiene los cinco componentes que presentamos a
continuación:(1) amplificador, (2) sintonizador de FM, (3) sintetizador de
onda media, (4) altavoz A y (5) altavoz B. Se considera que el sistema
funciona si podemos obtener sonido por medio de la FM o bien mediante la
onda media. La función que modeliza este sistema es:
f ( x1, x 2 , x 3 .x 4 .x 5 ) = x1  1 − ( 1 − x 2 )( 1 − x 3 )   1 − ( 1 − x 4 )( 1 − x 5 ) 

Esta es una representaciónesquemática del sistema

Funciones de dos variables

Una función real de dos variables, f , no es más que una correspondencia que
asigna a cada pareja ( x, y ) de números reales otro número real único f ( x, y ) .

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Se define el dominio de la función f como elconjunto de pares reales en los
que la función está definida. El rango es el conjunto de números reales dado
por
Im f = { z ∈ » / ( x , y ) ∈ D }

Ejemplos:
Consideremos las siguientes funciones y determinemos su dominio:
1) h ( x, y ) = 2x − 3y + 4
Es el semiplano inferior determinado por la recta 2x−
−3y+4=0
incluyendo los puntos de la recta
2) f ( x , y ) = log ( 4x + y − 5 )
Setrata del semiplano superior determinado por la recta
4x+y−
−5=0 sin incluir los puntos de la recta
3) g ( x , y, z ) =

1
2x − 3y + 4z − 6

Se trata de la región del espacio determinada por el plano
2x−
−3y+4z=6 que queda del otro lado del origen sin incluir los
puntos del plano.

4) K ( x , y, z ) = log ( 1 − x 2 − y 2 )
Consta del interior de la circunferencia x +y =1 sin incluir...