Derivada

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división representada por la relación , que como puedecomprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.
Esta noción constituye laaproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.
En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto se define como sigue:

,
Si este límite existe, de lo contrario, f' no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuouniforme acelerado en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de ladefinición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.
También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:
,
La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspectode este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.
El conocimiento de todas las expresiones anteriores y susignificado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.
[editar] Notación
Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor en varios modos:
* {Notación de Lagrange}
se lee «efe prima de equis»
* o{Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}
se lee « sub de », y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.
* { Notación de Newton}
se lee «punto » o « punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa paradefinir la derivada temporal de una variable.
* , ó {Notación de Leibniz}
se lee «derivada de ( ó de ) con respecto a ». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de en el punto a, se escribe:
para laprimera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada (n > 3). (También se pueden usar números romanos).
Para la función derivada de en , se escribe . De modo parecido, para la segunda derivada de en , se escribe , y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de , se escribe:...