Derivada

DERIVAS

DERIVADA EN UN PUNTO
 
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, delcociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.f′(a)= lim     Δy = lim      f (a+h) - f(a)
       h → 0    h    h → 0          h 
EJEMPLOS 
 
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.
f′(2)= lim     f(2+h) - f(2) = lim      3(2+h) - 3.2² =
       h → 0       h                 h → 0         h  

 
= lim      3(4+4h+h²)-12 = lim   3h²+12h =
    h → 0          h              h → 0     h
 
 lim     (3h+12)=12h → 0
 
Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

f′(1)= lim      f(1+h) -f(1) =
         h → o        h 

= lim     (1+h)²+4(1+h)-5 -(1²+4.1-5) =
  h → 0                   h= lim      1+2h+h²+4+4h-5 = lim       h²+6h =
  h → 0             h                 h → 0      h

lim       (h+6)= 6
h → 0

Determinar la derivada de en x = 2.
                   1    -  1                   x - (x+h)                   -h     
f′(x)= lim         x+h       x   = lim         x  (x+h) = lim        x²+xh     =
         h → 0           h             h → o        h           h → 0      h

= lim        (-       1      )  =-   1  
  h → 0           x² +xh           x²

f′(2)= -   1   = -   1 
             2²         4
 
DERIVADAS LATERALES 

DERIVADA POR LA IZQUIERDAf′(a¯)= lim        f(a+h) -f(a)
          h → 0¯           h
DERIVADA POR DERECHA 

f′(a†)= lim        f(a+h) - f(a)
         h → o†          h
 
Una función es derivable en un punto si, ysólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
DERIVADAS DE FUNCIONES 
 
La función derivada de una función f(x) es una función que asociaa cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).
 
f′(x)= lim        f(x+h) - f(x)
         h → o            h 
 
EJEMPLO
 
Determinar la función derivada de f(x)...