derivada


 La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de suvariable independiente. La derivada de una función es unconcepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vezmás pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. 
Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como lapendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiendea cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, talescomo concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical,una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Lasfunciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
La derivada de  en  es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conformelas líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
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Si la derivada de  existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de como la función cuyo valor en cada punto  es la derivadade  en .
Puesto que sustituir  por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se...