Derivada

Curso de Matemáticas II
Tema:
Cálculo Diferencial

Profesor: Fís. Edgar I. Sánchez Rangel

Matemáticas II

Fís. Edgar I. Sánchez Rangel

Definición de derivada
La derivada de una función es la razón de cambio de dicha
función cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valores
de y, cuando x cambia una cierta cantidad.

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Fís. Edgar I. Sánchez Rangel

Primeros ejemplos
Vamos amostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas,
con la intención de que ustedes vayan deduciendo un
procedimiento (regla) para resolverlas.

df
3
dx

f ( x) 6  x 2
df
 2 x
dx

x3
f ( x) 
3
df
x 2
dx

2 x 1
f ( x) 
5
df 2

dx 5

f ( x) 3 x

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Regla para
encontrar derivadas
Sea la función:
n
x
c
f(x)

La derivada de esta función es:
n 1df
  
dx
df
 cnx n  1
dx

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Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x) cx1
La derivada de esta función es:

df
1 1
  
dx
df
0
 cx
dx
df
c
dx
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Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x) c
La derivada de esta función es:

df
0
dx

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Ejemplos dederivadas
Sea la función:
3
x
f ( x ) 5

La derivada de esta función es:
df
3 1
  
dx

df
 15x 2
dx

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Ejemplos de derivadas
Sea la función:
4
x
f ( x )  3

La derivada de esta función es:
df
  4 1

dx

df
  12x 3
dx

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Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)



2
3

x

1
5

La derivada de estafunción es:
1
1
df
5
  
dx
4
df
2 5
x

15
dx

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Derivada de una suma y
diferencia de funciones
Sea la función:

f ( x)  g ( x) h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df dg dh
 
dx dx dx

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Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x) 5 x 2  7 x  6
df
10 x  7
dx
f ( x) 4 x 6  3x 5  10 x 2 5 x  16
df
24 x 5  15 x 4  20 x  5
dx
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Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1
2

3 4
f ( x)  8 x  x
4
1
df
1 2  3
( 8)  x   ( 4) x  5
dx
 2
 4

df
4
3

 5
dx
x x

f ( x)  3 x  4  10 x
df 12 5
 5
dx x
x
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Derivada de un producto
de funciones
Si la funciónque voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x)
y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  g ( x )h( x )

df dg
dh
 h( x )  g ( x )
dx dx
dx

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Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x) (8 x 2  5 x)(13 x 2  4)
Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
yrecordando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

df dg
dh
 h( x )  g
dx dx
dx

df
(16 x  5)(13 x 2  4)  (8 x 2  5 x)(26 x)
dx
3
2
3
2
208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
416 x 3  195 x 2  64 x  20
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Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x) (4  x)(3  x 2 )

df
2
( 1)(3  x )  (4  x)(2 x)
dx
 3 x 2  8 x  2 x 2
 3 x 2  8 x  3

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Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:

f ( x) (3x 2  x  3 )( x  1  2 x 2 )

df
(6 x  3 x  4 )( x  1  2 x 2 )  (3 x 2  x  3 )( x  2  4 x)
dx

 6  12 x 3  3 x  5  6 x  2  3  12 x 3  x  5  4 x  2
3

2

5

24 x  2 x  4 x  3

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Derivada de un producto
de varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando
debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso
debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x) e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df de
dg
dh
 g ( x ) h ( x )  e( x )
h( x )  e( x ) g ( x )
dx dx
dx
dx
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