Derivadas aplicadas a los negocios

DERIVADAS

* INTRODUCCIÓN

Las derivadas son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en lavariable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable. Que modifican los beneficios de los ingresos y de los costos con respecto al número de unidades vendidas.

Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovacióncanalítica como la revolución marginalista. De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.

* ANALISIS

Consideremos la situación económica en la cual las variables son el precio unitario de cada artículo y la cantidad de la mercancía, la cantidad solicitada en el mercado por losconsumidores depende del precio de la mercancía, cuando las precios bajan los consumidores demandan más, pero si aumenta el precio ocurre lo contrario los consumidores solicitan menos.

Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor que la demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la demanda, pero necesitasaber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos que disminuyan su ganancia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal.
APLICACIONES DE LA DERIVADA A LOS NEGOCIOS

* EJERCICIOS

1.- El número de unidades monetarias en el costo total de la fabricación de x relojes, esta dado por el C (X) = 1500 +3X +X2
Obtenga a) lefunción de costo marginal b) el costo marginal cuando x=40 c) el costo real de fabricación del reloj cuadragésimo primero

2.- Considere una empresa que opera en el mercado bajo la siguiente función de costo totales: CT( x) = 0.1x2 +10x +50 , y con un precio de venta dado por el mercado de $20 por unidad.
Dada esta información, conteste cada una de las siguientes preguntas

a) Paramaximizar las utilidades ¿Cuántas unidades debe producir la empresa?
b) ¿A cuánto ascienden las utilidades?

COSTO MARGINAL.

El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio.

En la práctica solamente se conocen puntos aislados de la gráfica de la función costo, por tanto no es posible, en general, conocer la función quecorresponde a tales puntos, es por eso que se recurre a utilizar lo que se conoce como el análisis marginal, que consiste en determinar el costo por producir la siguiente unidad por medio de los puntos que se conocen en la gráfica. ( extrapolación)

* EJEMPLOS
1.- Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción se describe por medio de la función
Q(x) =100; 000+ 1; 500x +0:2x2
El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto más y determinar si es conveniente producirlo.

Solución:
* Utilizando la definición de costo marginal, se tiene que es
Q0(x) = 1; 500 +0:4x

* y el costo por producir 1 auto más es,
Q0 (100) = 1; 540 pesos

Esto quiere decir, que si se produce 1 automás, el costo se incrementa en $1,540.
* La función costo promedio es,
q(x) = 100;00 +1;500+ 0:2x;
x
* El costo promedio al producir 100 autos es :
q(100) = 2;520 pesos

* como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto más, conviene producir la siguiente unidad.
2.- Supóngase que el costo de un...