Derivadas de orden superior

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Hasta ahora, se ha estudiado la derivada de una función, ó, la primera derivada de una función, ó la derivada de primer orden de una función. 
Muchas veces, interesael caso, en el cual la función derivada f’(x), se puede derivar nuevamente en un intervalo I, obteniéndose de esta forma la segunda derivada de la función. Es decir, si existe, , se llamará:la segunda derivada de f, o también, la derivada de segundo orden y se denotará por cualquiera de los símbolos: .  
Igualmente, se puede analizar si f’’ es derivable, en cuyo caso, se llama a la funciónresultante: la tercera derivada de f, ó, la derivada de orden 3 y que se denotará por: 
.  
Siguiendo este proceso, se puede preguntar por la existencia o no, de la derivada n-sima o la derivada de ordenn de f, la cual se denotará por: . 
Observación: 
Todas estas notaciones se extienden a las llamadas: derivadas de orden superior. Observe que aunque la notación de Leibniz para las derivadas escomplicada  resulta 
Ser la más apropiada y natural, al menos así lo pensaba él al escribir:  como 
 Como  
Supóngase que las variables x e y, están relacionadas por alguna ecuación de la forma: F(x, y) = 0 (1). 
Así, son ecuaciones de esta forma las siguientes:  (2) 
 (3) 
 (4) 
 (5)  
 
Definición: 
Si una función f, definida en un intervalo I es tal que la ecuación (1) se transforma enuna identidad cuando la variable y se reemplaza por f(x), se dice que f está definida implícitamente por medio de la ecuación (1). 
Así por ejemplo, la ecuación (2) define implícitamente lassiguientes funciones: e  en el intervalo [-5, 5]. 
La sustitución de cada una de estas funciones en (2) da lugar a la siguiente identidad: . 
Observación: 
No toda ecuación de la forma F(x, y) = 0, definede manera implícita una función, como sucede por ejemplo, con la ecuación (5), para la cual no existe ninguna pareja (x, y) que la satisfaga dado que  es siempre un número positivo. 
Supóngase...