Derivadas en la contabilidad

LA DERIVADA
El concepto de derivada lo podemos encontrar en la actualidad en prácticamente cualquier ciencia. La derivada, junto con la práctica totalidad del cálculo infinitesimal básico, fue inventada prácticamente al mismo tiempo aunque de manera independiente por Newton y Leibnitz.
Definición de la derivada
Sea una función f(x) y consideremos la siguiente fracción:
[pic]
Esta fracción,además del significado geométrico que veremos en seguida, se puede interpretar como "lo que crece la función por unidad de x", o la rapidez de crecimiento de la función a lo largo del eje x. El lector que tenga problemas para visualizar esto podrá verlo con facilidad si sustituye funciones concretas, por ejemplo en lugar de f(x) se puede utilizar s(t) (la función que dice el camino recorrido por uncuerpo en el instante t), y en lugar de x la propia variable t. Con esta sustitución, la fracción quedaría como
[pic]
que es precisamente la velocidad media del cuerpo en el intervalo Δt.
Pues bien, se define la derivada de la  función f(x) en el punto x2 [se escribe f'(x2) - con un apóstrofe siguiendo al nombre de la función] como el límite
[pic]
Intuitivamente, esto significa que vamosreduciendo cada vez más el intervalo en el que efectuamos el promedio de crecimiento de la función, hasta el punto de dejar reducido ese intervalo a un punto. La derivada representa, pues, el crecimiento instantáneo de una función en un punto. Es importante señalar que nada obliga a que este límite exista, pero si existe, se dice que la función es derivable en el punto x0.
En muchas ocasionesveremos la derivada expresada de las siguientes formas:
 
[pic]
donde dy y dx se llaman infinitésimos, y se asumen infinitamente pequeños. Tanto dy como dx son un único símbolo, es decir, no podemos "cancelar" la parte "d" del numerador y denominador para que solamente quede y/x.
Cuando la función que se está derivando es una función que depende del tiempo, se ha extendido indicar la derivada con unpunto encima de la función:
[pic]

Definición de derivada como un límite

En terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x con la que tiene una relación funcional. Usando el símbolo Δ para referirse al cambio en una cantidad, se define este coeficiente como un límite del cociente
[pic]Cuando Δx se aproxima a 0. En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x.
[pic]
(Esta notación depende del nombre de la función y su variable. En este caso, la función se llama "y", y la variable "x"). Esto sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.
En el lenguaje matemático contemporáneo, se refiere a cantidades dependientes y declara simplemente quela diferenciación es una operación matemática de funciones. La definición precisa (esta también refiere a cantidades infinitesimales) parte de un cociente de diferencias:
[pic]

Nótese que la expresión [pic]corresponde a la variación de [pic](o sea, [pic]). Esta es [pic], ya que [pic]se expresa en el eje y. La variación en el eje x corresponde a h. Hasta ahora tenemos una secante.
Luego,a h del cociente anterior se la hace tender a 0, por medio de un límite. Con esto estamos diciendo simplemente que la variación es ínfima, la secante la estamos convirtiendo en tangente.
Finalmente, queda constituida de la siguiente manera la derivada como una función:
[pic]
Esta es la llamada notación de la derivada como incremento.
Similarmente, considerando el incremento como h enlugar de Δx, definimos la derivada como:
[pic]
Estas expresiones proveen la regla de los 4 pasos para el cálculo de la derivada de una función y es más sencilla También puede demostrarse que puede definirse la derivada como sigue:
[pic]
O de un modo más general como:
[pic]

En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto x = a es:
[pic]
Esta...