derivadas matematicas




























San Cristóbal, 22 de febrero del 2013.
Índice:

Introducción___________________________________________________1

Concavidad___________________________________________________2

Maximos______________________________________________________3

Minimos______________________________________________________4Conclusión____________________________________________________5

Bibliografía____________________________________________________6

































Concavidad.


Concavidad:
-f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).

   




La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en unentorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a.







-f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) < f'(a) (x-a) + f(a).



   



Teorema:

Condición suficiente para la existencia de concavidad positiva:
Si la derivada segunda de una función f(x) es positiva en el punto a,entonces tiene concavidad positiva en dicho punto.
H) f''(a)>0
T) f tiene concavidad positiva en x=a

Demostración:
Existe f''(a) => existe f'(a) => (teorema) f es continua en x=a.
Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)
g'(x) = f'(x) - f'(a)
g''(x) = f''(x)
g''(a) = f''(a) > 0 => por Cond. suf. para el crecimiento puntual g'(x) es creciente en x=a
=> por def. De crecimiento puntual existeδ>0 / para todo x1 perteneciente a (a - δ,a) g'(x) < g'(a) = 0 y para todo x2 perteneciente a (a, a + δ) g'(x) > g'(a) = 0
Signo de g'(x):
- 0 +
-------|-------
a
=> por Cond. suf. para la existencia de mínimo relativo g presenta un mínimo relativo en x=a.
=> por def. de mínimo relativo existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a g(x) > g(a) = 0.
f(x) - f'(a)(x - a)- f(a) > 0
f(x) > f'(a)(x - a) + f(a) => por definición f tiene concavidad positiva en x=a.





Condición suficiente para la existencia de concavidad negativa:
Si la derivada segunda de una función f(x) es negativa en el punto a, entonces tiene concavidad negativa en dicho punto.

H) f''(a) < 0
T) f tiene concavidad negativa en x=a
La demostración es análoga a la anterior.Convexidad:

En matemática, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier subconjunto convexo de algún espacio vectorial) se llama función convexa o cóncava hacia arriba, si está definida sobre un conjunto convexo y para cualesquiera dos puntos cualquiera x e y de su dominio es su dominio C y cualquier t en [0,1], se cumple



En otras palabras, una función esconvexa sí y sólo si su epigrafo (el conjunto de puntos situados en o sobre el grafo) es un conjunto convexo.

Una función estrictamente convexa es aquella en que:



para cualquier t en (0,1) y Una función es cóncava si la función es convexa.

Propiedades:




Una función (en azul) es convexa si y sólo si la región sobre su grafo (en verde) es un conjunto convexo.
Una función convexaf definida en un intervalo abierto C es continua en C y diferenciable en todos los puntos menos en un conjunto numerable. Si C es cerrado, f puede no ser continuo en los puntos críticos o finales de C.
Una función es punto-medio convexa en un intervalo "C" si



Para todo x e y en C. Esta condición es sólo ligeramente más relajada que la de convexidad. En particular, una función continua quees punto-medio convexa será también convexa.

Una función diferenciable de una variable es convexa en un intervalo sí y sólo si su derivada es monótonamente no-decreciente en ese intervalo.

Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y sólo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes: f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x) para todo x e y en...