Derivadas Parciales Y Planos Tangentes

3. Derivadas parciales: Derivar con respecto a la variable indicada

Con respecto a x:
fx,y=x+yy2-x2
Dx+yy2-x2,x
x(x+y)(-x2+y2)32+1-x2+y2

Con respecto a y:
fx,y=Ln(x2+y2)D[Log[x2+y2],y]

2yx2+y2

Encuentre la segunda derivada con respecto a x de:

fx,y=Tan-1yx+ xx2+y2

D[D[ArcTan[yx]+xx2+y2,x],x]-2y3x4(x2+y2)(1+y2x2)2+4y(x2+y2)2(1+y2x2)+8x3ArcTan[yx](x2+y2)3-6xArcTan[yx](x2+y2)2

Calcule la derivada indicada:

a) fx,y=2x3y+5x2y2-3xy2 Hallar f211(x, y)

∂x(∂x(∂y(2x3*y+5x2*y2-3x*y2)))

12x+20y

b) gx,y,z=Sin(xyz) Hallar g23(x, y, z) y g12(x, y, z)∂z∂ySinx*y*z=xCos[xyz]-x2yzSin[xyz]
∂y∂xSinx*y*z=zCos[xyz]-xyz2Sin[xyz]

c) gr,s,t=ln⁡(r2+4s2-5t2) Hallar g132(r, s, t) g122 (r, s, t)

∂s∂t∂rLogr2+4s2-5t2=-320rst(r2+4s2-5t2)3∂s∂s∂rLogr2+4s2-5t2=256rs2(r2+4s2-5t2)3-16r(r2+4s2-5t2)2

Comentarios:
a) Para el cálculo de las derivadas con el programa en uso se puede emplear tanto la función de la forma D[expr,var] como .b) Para obtener la función del logaritmo natural cerciorarse que le emplee la expresión Log y el argumento debe estar entre paréntesis.
c) La función ArcoTangente no es reconocida por elprograma al expresarla como Tan-1, tiene que ser expresada como ArcTan y su argumento debe estar entre corchetes.
d) Con el empleo del programa se logró obtener con cierta facilidadderivadas de funciones un tanto complicadas o que demandan más tiempo de ser calculadas a mano.

6. Planos tangentes: Encuentre y grafique los planos tangentes de las siguientes funciones

a)9x3-y3=1 En el punto (1, 2)

D[9x3-y3-1,{{x,y}}]
{27x2,-3y2}
x=1
y=2
{27x2,-3y2}
{27,-12}
Clear[x,y]
u={27,-12}
v={x-1,y-2}
Expand[u.v]
-3+27x-12y
Recta tangente:

-3+27x-12y=0Plot[{(9x^3-1)^(13),-14+9x4},{x,0,3}]

b) 16x4+y4=32 En el punto (1, 2)

D[16x4+y4-32,{{x,y}}]
{64x3,4y3}
x=1
y=2
{64x3,4y3}
{64,32}
u={64,32}
v=x-1,y-2
Expandu.v
-128+64x+32y
Recta...