Derivadas Parciales

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Derivada parcial
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa concualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde  es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de laincógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
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Gradiente
En cálculo vectorial,el gradiente  de un campo escalar f es un campo vectorial. El vector gradiente de f evaluado en un punto genérico x del dominio de f, (x), indica la dirección en la cual el campo f varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de f en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla  seguido de la función (cuidado de no confundir elgradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante , o usando la notación . La generalización del concepto de gradiente a campos f vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.
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Propiedades
El gradiente verifica que:
* Es ortogonal a lassuperficies equiescalares, definidas por  =cte.
* Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
* Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
* Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
* El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

-------------------------------------------------Derivada direccional
En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.
Demostración
El caso más sencillo de la derivadadireccional se da en el espacio tridimensional. Supongase que se tiene una función diferenciable . La derivada direcciónal según la dirección de un vector  sería:

El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio  lo cual lleva, por ser diferenciable la función1 f, a:

Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:

Resultado que trivialmente coincide con el productoescalar del gradiente por el vector :

Ecuación del plano tangente a una superficie
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.
Si la superficie está definida demanera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la ecuación:

y la recta normal por:

Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación del plano tangente en el punto viene definida por:

y la ecuación de la recta normal:

La ecuación del plano tangente...